Avec des parenthèses sans doute ; Z= (z₁+z₂)/(1+z₁z₂) ?


tu veux montrer que c'est un réel, donc essaye de calculer , si tu montres que c'est nul, c'est gagné.
et pense que et

bonjour

une autre méthode qui te permet de traiter aussi le 2)

z1=e^ia et z2=e^ib

z1+z2=e^ia+e^ib
     =e^i((a+b)/2))[e^i((a-b)/2) + e^-i((a-b)/2)]
     =2cos((a-b)/2)e^i((a+b)/2)

1+z1z2=1+e^i(a+b)
      =e^i((a+b)/2)[e^-i((a+b)/2)+e^i((a+b)/2)]
      =2cos((a+b)/2)e^i((a+b)/2)

donc
Z=cos((a-b)/2)/cos((a+b)/2) donc Z est un réel.

2)
Z=cos((a-b)/2)/cos((a+b)/2)
=[cos(a/2)cos(b/2)+sin(a/2)sin(b/2)]/[cos(a/2)cos(b/2)-sin(a/2)sin(b/2)]
=(1+tan(a/2)tan(b/2))/(1-tan(a/2)tan(b/2))

on prend a=Pi/6 et b=Pi/2  donc tan(a/2)=tan(Pi/12) et tan(b/2)=tan(Pi/4)=1
donc
Z=(1+tan(Pi/12))/(1-tan(Pi/12))

maintenant z1=e^iPi/6=V3/2+i(1/2) et z2=i
donc
Z=(V3/2+i/2+i)/(1+i(V3/2)+i/2))
=(1/2)(V3+3i)/(1/2)(1+iV3)
=V3
donc
(1+tan(Pi/12))/(1-tan(Pi/12)=V3
1+tan(Pi/12)=V3-V3tan(Pi/12)
tan(Pi/12)(1+V3)=V3-1
tan(Pi/12)=(V3-1)/(V3+1)=(V3-1)²/(3-1)=(3+1-2V3)/2=(4-2V3)/2=2-V3
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voila