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Posté par marcelo (invité) 01-02-06 à 17:15

Bonjour,

J'aimerai connaitre une façon afin de montrer que Iz²I = IzI²
Ps : j'ai remplaçé les barres de modules par une majuscule de la lettre i.

Avec ( par exemple ) z = x + iy

Je vous remercie d'avance.

Posté par re : Complexe 01-02-06 à 17:20

Bonjour

On note z=x+iy
$3$\rm z^{2}=x^{2}+2ixy-y^{2}$
ainsi :
$3$\rm |z^{2}|=\sqrt{(x^{2}-y^{2})^{2}+(2xy)^{2}}=\sqrt{x^{4}-2x^{2}y^{2}+y^{4}+4x^{2}y^{2}}=\sqrt{x^{4}+2x^{2}y^{2}+y^{4}}=\sqrt{(x^{2}+y^{2})^{2}}=x^{2}+y^{2}=|z|^{2}$

Posté par marcelo (invité)re : Complexe 01-02-06 à 17:24

Belle démonstration.

Merci

Posté par re : Complexe 01-02-06 à 17:25

Merci

Posté par re : Complexe 01-02-06 à 17:28

si z = x + iy
$|z|=\sqrt{x^2+y^2}$
donc $|z|^2=x^2+y^2$
et $z^2=(x+iy)^2=x^2-y^2+2ixy$
donc $|z^2|=\sqrt{(x^2-y^2)^2+(2xy)^2}$
<=> $|z^2|=\sqrt{x^4+y^4-2(xy)^2+4(xy)^2}$
<=> $|z^2|=\sqrt{x^4+y^4+2(xy)^2}$
<=> $|z^2|=\sqrt{(x^2+y^2)^2}$
<=> $|z^2|=x^2+y^2$

donc on a bien |z²|=|z|²

Posté par re : Complexe 01-02-06 à 17:28

trop tard !

Posté par marcelo (invité)re : Complexe 01-02-06 à 17:29

Dans ce cas est-ce qu'on peut dire que :

Ix² + 2ixy - y²I = Iz²I

Posté par re : Complexe 01-02-06 à 17:30

Oui puisque z²=x²+2ixy-y² ...

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