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COMPLEXE

Posté par JM (invité) 11-03-04 à 17:42

Bonjour

jaides difficultés poiur mon exercice merci de maider...
Plan coplexe P R.O.N. (O, vectu, vectv)
On note f l'application du plan P privé du point O dans P qui à
tout point L d'affixe z non nulle, associe le point M'
d'affixe z'=1/zbarre.
et z'=z/|z|²


1) Montrer que O,M,M' sont alignés.
2) Déterminrer l'ensemble des points invariants par f.
Verifier que l'ensemble des points contient les points A et B daffixes
respectives -1 et i.
3) Soient C le cercle de diamètre [AB], E le milieu de [AB] et E'=f(E).
Déterminer une équation de C. Montrer que E' appartient à C.

4) Le point M d'affixe z étant un point quelconque de la droite
(AB), on se propose de construire son image M'. d'affixz
zé" par l'application f.
a) Déterminer une équation de la droite (AB).
On pose k= OM², zx+iy et z'=x'+iy'
Exprimer k en fonction de x.
Montrer que M" appartient à C( n exprimant x' et y' en fonction
de x et k).
b) Déduire des questions précédentes une construction géométrique du
point M' connaissant le point M.

Voilà, merci bcp.

Posté par
Victor
re : COMPLEXE 11-03-04 à 18:22

Bonsoir

Quelques indications
1) On a arg(z')=arg(z) donc O, M et M' sont alignés.
2) Les points invariants par f sont les points M d'affixe z telle
que :
z=1/zbarre
zzbarre=1
|z|²=1 c'est à dire |z|=1. C'est donc l'ensemble des points
du cercle de centre O et de rayon 1.
-1 et i sont de module 1 donc A et B sont invariants.
3) E a pour affixe (i-1)/2 ou pour coordonnées (-1/2;1/2)
Le rayon du cercle est égale à module de i+1/2 soit V2/2 (racine carrée
de 2).
Donc l'équation du cercle est :
(x+1/2)²+(y-1/2)²=1/2.
On calcule ensuite les coordonnées de E' et on remplace dans l'équation
du cercle.
On trouve E'(-1;1).
4)a) (AB) passe par les points de coordonnées (-1;0) et (0;1) donc son
équation est y=x+1
OM²=x²+y²
M' a pour affixe (x-iy)/k donc x'=x/k et y'=-y/k=(-x-1)/k
On remplace x et y dans l'équation du cercle C par x' et y'
et on remarque par le calcul que on trouve 1/2.
Donc M' appartient à C.

@+

Posté par
watik
re : COMPLEXE 11-03-04 à 19:21

bonjour

je vous donne qq indications pour vous permettre de résoudre l'exo
par vous même.

1) O,M et M' sont alignés ssi les deux vecteurs OM et OM'
sont liés.
                                          ssi arg(z'/z)= 0 mod(Pi)

comme z'=1/Z   ; Z=zbare

z'/z=1/zZ    or zZ=|z|²  

concluez donc.

2) M est invariant par f ssi f(z)=z=1/Z

concluez donc pour l'ensemble des points invariants par f.

IMPORTANT: lorsque vous voulez montrer l'égalité de deux ensembre procédez
par des équivalence logiques (les ssi que j'écris) car si vous
procéder par implication vous aurez montré une inclusion de E dans
l'ensemble que vous trouvez.

A d'affixe -1 et B d'affixe i appartiennent à l'ensemble
des points invariants ssi f(-1)=-1 et f(i)=i vérifiez le.

3) E milieu de AB et e son affixe e=(affixe(A)+affixe(B))/2

faites ce calcul pour dterminer e.

soit M un point d'affixe z.

M appartient à C ssi la distance de Mà E est égale à la distance de
A à E.

ssi |z-e|=|a-e|

calculez e et a-e en suite le module |a-e| pour trouver le rayon du cercle.

e'=f(e)

E' appartient à C ssi |e'-e|=|a-e|

calculer |e'-e|=|f(e)-e| et montrez qu'il est égale à |a-e| que
vous avez déjà calculé.

4) plusieur manières pour trouvez l'équation de la droite (AB).
Je vous propose celle-ci parcqu'elle utilise des propriétés
des nombres complexes.

M appartient à (AB) ssi les deux vecteurs AM et AB sont liés
                                  ssi (z-a)/(b-a) est réel ; a et
b sont les affixes de A et B.

ssi (z-a)/(b-a)=-(Z-a)/(bbare-a)   ; a=-1 est réel.

en développant les calcules vous trouvez: ze+Zebare-1=0

e étant l'affixe de E et ebare son conjugué.

si vous remplacer z par x+iy et e par sa valeur vous trouvez l'équation
suivante: x-y+1=0

k=OM²=x²+y² et y=x+1  vous donnent l'expression de k en fonction de x.

l'équation du cercle C est x²+y²+x-y=0

M appartient à (AB) et M'=f(M)

il faut montrer que M' apprtient à C.

la méthode proposée par l'énoncé:

il faut calculer x'²+y'²+x'-y' et montrer qu'il
est nul en vous servant du fait que :

x'=x/k
y'=y/k

x-y+1=0

c'est facil il suffit de faire les calculs.

Je vous propose la méthode suivante qui utilise les complexes sans recourir
à leurs expressions en fonction de x et de y.

On a montré que M  appartient à (AB) ssi ze+Zebare-1=0

comme :

z'=1/Z donc Z=1/z' et z=1/Z'

en substituant z et Z dans ze+Zebare-1=0

en obtient:

(e/Z')+(ebare/z')-1=0

ssi ez'+Zebare -|z'|²=0  ;   faites les calculs.

comme :

|z'-e|²=(z'-e)(z'-ebare)=|z'|²-z'ebare-Ze+|e|²

comme o a montré que  ez'+Zebare -|z'|²=0

donc

|z'-e|²=|e|²  donc |z'-e|=|e|=|a-e|

donc M' appartient à C.

b) comme O,M et M' sont alignés d(après la première question, vous
tracez la droit OM. OM coupe le cercle en un point unique M'
tel que O,M et M' soient alignés. M' est donc est l'intersection
de OM et du cercle C.

voila

bon courage.

Posté par JM (invité)suite! merci 17-03-04 à 09:26

bonjour, et merci!

Dsl je n'ai pas pu répondre plus tôt car j'ai eu des pb pr
internet...


je voulez vous demander pr la question 1 je trouve à la fin que l'angle
est congru - |z|² modulot 2 Pi. Est ce juste? si je dis apres que
|z|²=x²+y² et que ce sont des réels donc sont sur l'axe des
abscisses, donc congru ) un angle  pi...... ainsi ilssontbien alignés.

Pour la question 2, je trouve alors à la fin OM²=1, OM=1 (car distances)
donc  M appartient au cercle  C(0;0)....
Pourtant la question portait sur les points invariants (est-ce bien comparables
au point fixe?) , or pour un cercle seul le centre est invariant
pas l'ensemble des points...???

Merci de m'expliquer.

Posté par
watik
re : COMPLEXE 17-03-04 à 10:05

bonjoue JM

1) Tout d'abord vous ne pouvez pas dire "que  l'angle
est congru - |z|² modulot 2 Pi" . Ca n'a pas de sens.

Prcontre vous pouvez dire:

que l'angle
"est congru à arg( 1/|z|²) modulot 2 Pi. "

voici une solution complète de la question:


O,M et M' sont alignés ssi les deux vecteurs OM et OM'
sont liés.
                                          ssi arg(z'/z)= 0 mod(Pi)


comme z'=1/Z   ; Z=zbare

z'/z=1/zZ    or zZ=|z|²    

donc arg(z'/z)=arg(1/|z|²)=0 mod(2pi)

car  |z|² est un réel positif.

vous pouvez donc conclure que O,M et M' sont alignés et même que
O est à l'extérieur du segment MM'.

2) Vous avez bien trouvé sauf que vous devez préciser le rayon du cercle
qui est ici égal à 1.

Mais pour éviter de montrer la réciproque, c-à-d qu'un point de cercle
de centre O et de rayon 1 est invariant, vous procédez par équivalence
dans votre démonstration.

M est invariant par f ssi f(z)=z=1/Z
                                  ssi zZ=1
                                  ssi |z|²=1
                                  ssi |z|=1
                                  ssi ||OM||=1
                                  ssi M appartient au cercle ((0,0),
1)


IMPORTANT:

voici ci après, pour justifier ma remarque,  un rappel de la relation entre
égalité des ensembles et équivalence logique)

soit A={x, P(x)} et B={x, Q(x)}

(A=B) ssi (P(x) est équivalente à Q(x))
            ssi [(P(x) implique Q(x)) et (Q(x) implique P(x))]

pour l'inclusion des ensembles vous avez:

(A inclu dans B) ssi (P(x) implique Q(x))


voila

j'espère que j'ai répondu à votre question.

Permettez moi de placer un conseil:

Soyez rigoureux dans le développement logique de ce que vous montrer.

Souvent la rigueur méthodique aide dans la recherche de solution.

Cette remarque est aussi valable pour la rédaction en français.
Rédiger rigoureusement.

Comme citait Poincaré à l'académie française il y plus de 80 ans :
la différence entre "qui multiplie" et "que multiplie" a fait
perdre à un élève des mathématiques modernes de l'époque sa
note car l'une et l'autre induise des sens logiques inverses
non pas à cause du raisonnement mathématique qui était juste mais
à cause de la rigueur du français qui a faussé en quelque sorte ce
raisonnement.

voila j'espère que je n'était pas long.


bon courage



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