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complexe Au secours

Posté par Ado (invité) 15-03-05 à 12:42

Bonjours, je n'arrive pas à faire cet exercice, ce serait sympa de m'expliquer au moins le 1) Voici l'énonce

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal (O;i;j).
Dans tout l'exercice, z est un nombre complexe non nul.

A tout point M d'affixe z, on associe le point M' d'affixe z'=-1/z , puis le point I milieu du segment [M M']. L'affixe de I est donc 1/2(z-1/z).


1. a. Donner une relation entre les modules de z et z'.
Donner une relation entre leurs arguments.
b. Soit un cecle1 de rayon 2 de centre O et un cercle2 de centre O de rayon 1. M1 point du cercle 1 et M2 point du cercle 2. Sur la figure est placé le point M1 d'affixe z1 sur le cercle de centre O et de rayon 2.
Expliquer comment on peut obtenir géométriquement le point M1, puis le point I1 milieu de [M1 M'1].
Effectuer cette construction.


2. Pour cette question, téta est un réel et M est le point d'affixe z=e^(i téta).
a. Calculer sous forme algébrique l'affixe de I.
b. Sur la figure ci-après est placé le point M2 d'affixe z2 sur le cercle (C) de centre O et de rayon 1. Expliquer comment, en utilisant le résultat de la question 2.a., on peut obtenir géométriquement le point I2 milieu du segment [M2 M'2].
Effectuer cette construction.
Donner (sans justification) l'ensemble décrit par I lorsque M décrit (C).



3. Dans cette question, M est un point du plan, distinct de O.
a. Déterminer les points M du plan complexe pour lesquels M et I sont confondus.
b. Développer (z-2i)² +3.
Déterminer les points M du plan complexe pour lesquels l'affixe de I est 2i.




4. Dans cette question, M est un point du plan, distinct de O, d'affixe z=x+iy (x et y réels).
a. Exprimer en fonction de x et y la partie réelle et la partie imaginaire de l'affixe de I.
b. Déterminer l'ensemble (E1) des points M du plan pour lesquels I appartient à l'axe des abcisses.
c. Déterminer l'ensemble (E2) des points M du plan pour lesquels I appartient à l'axe des ordonnées.

à mon avis c'est infaisable, d'habitude, j'arrive au moins une question
Merci d'avance..

Posté par slybar (invité)re : complexe Au secours 15-03-05 à 13:20

Bonjour,

1)a- z'=-1/z
soit z'=r'e^{i\theta'} avec r' et \theta' module et argument de z'
soit z=re^{i\theta} avec r et \theta module et argument de z
donc r'e^{i\theta'}=-\frac1{re^{i\theta}
r'e^{i\theta'}=-\frac1{r}e^{-i\theta}=\frac1{r}{e^{i\pi}e^{-i\theta}=\frac{e^{i(\pi-\theta)}}{r}
r'=\frac1{r}
e^{i\theta'}=e^{i(\pi-\theta)}
\theta'=\pi-\theta

Posté par Ado (invité)re : complexe Au secours 15-03-05 à 13:57

Merci... J'avais pas eu cette démarche...

Vous pourriez m'expliquer l'énoncé de la 1b SVP

Posté par
Flo_64re : complexe Au secours 15-03-05 à 14:25

en fait un point sur un cercle tu peux l'exprimer en fonction du cos et du sin
cosx=(e(ix)- e(-ix))/2 et sinx=(e(ix)+e(-ix))/2

Posté par Ado (invité)re : complexe Au secours 15-03-05 à 16:46

Oui mais je n'ai pas les cosinus et sinus...

Je comprends rien à cet exercice

Posté par Ado (invité)re : complexe Au secours 15-03-05 à 17:19

Personne ne peut m'expliquer????

Posté par Ado (invité)re : complexe Au secours 15-03-05 à 17:27

Un éléve de ma classe a tenté de m'expliquer voila ce que j'ai retenu...

1b M1 est sur le cercle de rayon 2.
On recherche sur le cercle le point qui aura pour argument pi-téta: c'est le point symétrique de M1 par rapport à l'axe des y. Soit M1'' ce point. On aura OM'1=1/2*OM'1. Puis on prend le milieu de M1M'1 pour avoir I'.

2 z=exp(itéta)
z'=-exp(-itéta)=-cos(téta)+isin(téta)
1/2(z'+z)=isintéta
le point M'2 est situé sur le même cercle symétrique de M'2 par rapport à l'axe des y.
I décrit l'axe des y entre le point -i et +i

3 on fait 1/2(z-1/z)=z et je trouve z=i

1/2(z-1/z)=2i
on retrouve le développement de (z-2i)²+3
(z-2i)²=-3=3i²
z=2i+ou-irac3=i(2+ou-rac3)

4
zI=1/2(x+iy-1/(x+iy))=1/2(x+iy-(x-iy)/(x²+y²))
xI=1/2(x-x/(x²+y²)
yI=1/2(y+y/(x²+y²))
c yI=0
y(1+1/(x²+y²))=0
soit y=0 c'est l'axe des x
xI=0
x=0 et x²+y²=1 on retrouve le resultat du 2

C'est juste??? Je pense avoir compri... Mais s'il ya une erreur n'hésiter pas

Posté par Ado (invité)re : complexe Au secours 15-03-05 à 19:05

Personne ne peut me répondre???

Posté par adora (invité)re : complexe Au secours 15-03-05 à 19:27

SVP..........

Posté par adora (invité)re : complexe Au secours 15-03-05 à 19:27

Tu pourrais donné tes résultats que l'on puisse t'aider...

Posté par Ado (invité)re : complexe Au secours 15-03-05 à 19:29

Ce que j'ai écris, c'est ce que j'ai compris des explications que l'on m'a donn, mais les résultats peuvent etre faux...
C'est pour cela que je pose la question...

Posté par Ado (invité)re : complexe Au secours 15-03-05 à 21:44

Personne ne peut vérifier ma réponse....

Posté par Ado (invité)re : complexe Au secours 15-03-05 à 22:56

S'il vous plait....

Posté par adora (invité)re : complexe Au secours 15-03-05 à 23:50

Soit un cercle1 de rayon 2 de centre O et un cercle2 de centre O de rayon 1. M1 point du cercle 1 et M2 point du cercle 2. Sur la figure est placé le point M1 d'affixe z1 sur le cercle de centre O et de rayon 2.
Expliquer comment on peut obtenir géométriquement le point M1, puis le point I1 milieu de [M1 M'1].
Effectuer cette construction.

En fait, le 1b est incompréhensible, je ne sais pas quoi répondre à la question...
J'ai mis que M'1 a pour affixe z'1=-1/z1=|z'1|*e^(i*pi-i*téta).
J'ai dit qu'il faut tracer un cercle de rayon 1/|z1| et chercher sur le cercle le point d'argument pi-téta... Mais c'est faux...

S'il vous plait... J'ai besoin d'aide

Posté par Ado (invité)re : complexe Au secours 15-03-05 à 23:53

tu as aussi cet exercice... A ce que je vois je ne suis pas la seule à avoir des difficultés pour ce sujet. Si ça peut te rassurer, j'ai mis la même faute que toi au 1b

S'il vous plait... Répondez moi...

Posté par Ado (invité)re : complexe Au secours 16-03-05 à 01:18

S'il vous plait...

Posté par Ado (invité)re : complexe Au secours 16-03-05 à 18:59

S'il vous plait, vous pouvez m'aider?

Posté par Ado (invité)re : complexe Au secours 16-03-05 à 22:42

Vraiment personne ne peut m'aider?????

Posté par Ado (invité)re : complexe Au secours 17-03-05 à 01:37

S'il vous plait, je suis un ppeu bloqué, je crois que tout ce que j'ai fait, c'ast faux...

Posté par Ado (invité)re : complexe Au secours 17-03-05 à 06:32

S'il vous plait...

Posté par Ado (invité)re : complexe Au secours 17-03-05 à 08:07

SVP

Posté par Ado (invité)re : complexe Au secours 17-03-05 à 08:32

SVP

Posté par Ado (invité)re : complexe Au secours 17-03-05 à 08:54

Personne ne peut m'aider?

Posté par Ado (invité)re : complexe Au secours 17-03-05 à 12:01

S'il vous plait, je suis persuader que j'ai mal compris... Aider moi s'il vous plait

Posté par Ado (invité)re : complexe Au secours 17-03-05 à 12:43

S'il vous plait.......

Posté par slybar (invité)re : complexe Au secours 17-03-05 à 13:23

Bonjour ADO,

1)b)

soit C1 r=2 centre O
Soit C2 r=1 centre O

M1C1
M2C2

M1 d'affixe z1=2e^{i\theta}
M'1 d'affixe z'1=r'e^{i\theta'}

d'aprés la question 1)a) :
r'=1/r=1/2
\theta'=\pi-\theta

M'1C'1 r'=1/2 centre O et M'1 est le symétrique de M1 par l'axe des ordonnées.

2)a)z_M=e^{i\theta}

z_I=\frac{z_M+z_M^'}{2}=\frac{z_M-\frac1{z_M}}{2}
z_I=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2}
or e^{i\theta}=cos(\theta)+isin(\theta)
et e^{-i\theta}=cos(-\theta)+isin(-\theta)=cos(\theta)-isin(\theta)
alors
e^{i\theta}-e^{-i\theta}=cos(\theta)+isin(\theta)-(cos(\theta)-isin(\theta))=2isin(\theta)

donc z_I=isin(\theta)

2)b)z_{M2}=e^{i\theta}
z_{M'2}=e^{i(\pi-\theta)}
M'2 est le symétrique de M2 par rapport à l'axe des ordonnées.
I2 est le point d'intersection de l'axe des ordonnées avec (M2M'2)

3)a) M et i sont confondus quand :

z_I=z_M
Ou z_I=\frac{z_M+z_M^'}{2} ==> z_M=z_M^'

Donc il faut chercher les points qui par la transformation z'=-\frac1{z} sont invariant.

Posté par Ado (invité)re : complexe Au secours 17-03-05 à 15:09

Merci pour ta réponse, mais j'ai pas fait ça pour la 3a j'ai dit que (1/z)*(z-1/z)=z
et en développant, je trouve z=i ou z=-i
C'est juste ou pas?

Pour la 3b j'ai développé et je trouve z²-4iz-4, c'est juste?
Mais je n'arrive pas à déterminer les points M avec z(I)=2i

Et la question 4, je bloque complétement.........

S'il vous plait

Posté par Ado (invité)re : complexe Au secours 17-03-05 à 15:27

S'il vous plait, je n'arrive vraiment pas à la 4....

Répondez à mes question s'il vous plait, c'est important pour moi...

Posté par Ado (invité)re : complexe Au secours 17-03-05 à 16:23

S'il vous plait...................

Posté par adora (invité)re : complexe Au secours 17-03-05 à 16:27

C'est tres urgent........ Aidez moi, s'il vous plait...
Je sais que j'insiste beaucoup, mais c'est tres important

Posté par Ado (invité)re : complexe Au secours 17-03-05 à 16:30

Adora, je sais que tu as le même sujet que moi, mais n'écris pas sinon on va croire que l'on m'a aidé alors que ce n'est pas le cas...

Merci de ta compréhension...

Posté par Ado (invité)re : complexe Au secours 17-03-05 à 16:52

S'il vous plait

Posté par slybar (invité)re : complexe Au secours 19-03-05 à 10:37

Bonjour,

je ne vois pas comment tu en es arrivé à (1/z)*(z-1/z)=z??

Soit z_0 un point invariantde la transformation z'=-\frac1{z}

alors z_0=-\frac1{z_0}
z_0+\frac1{z_0}=0
\frac{z_0^2+1}{z_0}=0

z_0^2=-1
soit z_0=i
soit z_0=-i

3)b)
(z-2i)²+3=z²-4iz-4+3=z²-4iz-1

z_I=2i

\frac{(z-\frac1{z})}{2}=z_I=2i

\frac{z^2-1}{z}=4i
\frac{z^2-4iz-1}{z}=0
donc \frac{(z-2i)^2+3}{z}=0
(z-2i)²-3i²=0
(z-2i-i\sqrt{3})(z-2i+i\sqrt{3})=0
soit z=i(2+\sqrt{3})
soit z=i(2-\sqrt{3})


4)z=x+iy

2z_I=(z-\frac1{z})=\frac{z^2-1}{z}
2(x_I+iy_I)=\frac{(x+iy)^2-1}{(x+iy)}=\frac{(x+iy)(x^2+y^2)-(x-iy)}{x^2+y^2}
2(x_I+iy_I)=\frac{x^3+xy^2+ix^2y+iy^3-x+iy}{x^2+y^2}

donc x_I=\frac{x^3+xy^2-x}{2(x^2+y^2)}
et y_I=\frac{x^2y+y^3+y}{2(x^2+y^2)}

si Iaxe des abscisses==> I est un réel pur

donc y_I=0=\frac{x^2y+y^3+y}{2(x^2+y^2)}
donc y(x²+1+y²)=0
soit y=0
soit x²+y²=-1<=>x²+y²=i²

si axe des ordonnées ==> I est un imaginaire pur

donc x_I=0=\frac{x^3+xy^2-x}{2(x^2+y^2)}
donc x(x²+y²-1)=0
soit x=0
soit x²+y²=1


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