Bonjour,

J'ai un probleme de maths sur lequel  mes collègues et moi planchent depuis une semaine et la solution ne nous apparait malheureusement pas à l'esprit !

Le probleme est le suivant: On pose E={x+jy, (x,y) € Z²} et U désigne l'ensemble des éléments de E dont l'inverse et encore dans E; il s'agit de montrer que (z=x+jy € U <=> z € E et |z|=1) et ensuite que U est constitué de 6 éléments à déterminer en fonction de j ou de puissances de j.

Pour ce qui est de l'équivalence il est aisé de montrer que |z|=1/|z|=1 mais nous n'arrivons à le montrer que pour le module et non pour tout z, il est aussi facile de montrer que, par définition de U, z € E et 1/z € E, ce sont les seuls résultats que nous ayons pu en tirer ! Pour la question concernant les solutions celles ci se trouvent sur le cercle de rayon 1 et de centre O dans la plan complexe mais je n'arrive pas à prouver qu'il existe 6 solutions.

Voilà ! Si vous avez une idée je vous en serais très reconnaissant !



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Salut,

Si je resume ce que tu as dit, tu as deja montre que:
z appartient a U implique: z est un element de E et |z|=1

Il reste la reciproque:
si z est un element de E de module 1: alors tu as bien vu que 1/z est aussi un element de E. Donc z appartient a U (c'est la definition!).

Tu as montre l'equivalence en fait.


Pour l'ensemble de solutions:

|z|^2 = (x-y/2)^2 + 3/4.y^2
donc |z|^2 >= 3/4.y^2
or |z|^2 =1

donc |y| <= ??? je te laisse ocntinuer.
Tu as une majoration de y, donc un nomnbre fini de cas a etudier (y est un entier relatif). Tu en deduis x ensuite. Et donc les solutions...

A+
biondo


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Oulà je me suis embrouillé !

J'ai déjà montré que si z € U => z € E et 1/z € E (définition de l'ensemble U) mais je n'arrive  pas à montrer que si z € U => |z|=1 (je me suis trompé on a juste montré que 1/|z| = |z|) !

Pour z € E et |z|=1 => z € U, je sais montrer que 1/|z|=|z|=1, donc 1/|z| et |z| appartiennent à U mais pourquoi alors, 1/z appartiendrai t il à U ?

Merci


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note: je ne comprends pas ton calcul de module de z, moi je trouve que |z|²=x²-xy +y² avec j=e^(i2pi/3) (c'est peut etre ce qu'il manquait dans l'énoncé)

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Ha haaaaaa....

(*) si |z| = 1/|z|, alors |z|^2 = 1 ! donc |z| =1

(*) z un element de E tel que |z| = 1. Alors:


or

donc

et comme (assez facile a voir...), 1/z est bien un element de E.

Ok?

A+
biondo

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Euh... pour le module:

x²-xy+y² = (x-y/2)² -y²/4 + y² = .... on est donc d'accord.

biondo

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Merci beaucoup ! La lumière m'a éclairé !! Effectivement il y a des jours ou on a pas beaucoup de jugeote...mais à croire que ça a duré une semaine... bref ! En tout cas vive ilemaths.net !

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