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Complexe, équation second degré, périmètre

Posté par
nach 24-03-12 à 18:31

Bonjour, voici l'exercice que j'essaie de faire :

On donne dans l'expression z2 - 2z + 1/cos² t   où t est un réel de ]0;/2[

1) Résoudre l'équation z2 - 2z + 1/cos² t = 0      Soient z1 et z2 ses racines.

2) t étant dans ]0;/2[  , calculer le périmètre p(t) du triangle OM1M2 où M1 et M2 sont les points d'affixes z1 et z2.

3) Quelle est la nature du triangle si on donne p(t) = 23 ?


Je ne demande pas que vous le fassiez, ça ne me servirais à rien. Je souhaites juste de l'aide, des coups de pouces et des indications qui m'aideront à réussir.

Posté par
nachre : Complexe, équation second degré, périmètre 24-03-12 à 18:32

Pour la 1)
J'ai transformé l'équation de façon à ne plus avoir de fraction.

J'ai  (cos2t)z2 -2(cos2t)z +1 =0

Est ce bon ?
Je préfère avoir un bon départ.

Posté par
Labore : Complexe, équation second degré, périmètre 24-03-12 à 18:48

Bonjour,
garde 1/cos^2t
rappel
1-cos^2t=sin^2t \\ tan^2t=\frac{sin^2t}{cos^2t}

Posté par
nachre : Complexe, équation second degré, périmètre 24-03-12 à 18:57

D'accord merci. Je suis en train d'analyser ton rappel.

Posté par
nachre : Complexe, équation second degré, périmètre 24-03-12 à 19:05

tan² t = 1-cos² t / cos² t

Est cela qu'il faut utiliser ? mais je ne vois pas le rapport de tan ici.

Est ce 1 / cos ² t = tan² t / sin² t ?

Posté par
Labore : Complexe, équation second degré, périmètre 24-03-12 à 20:36

mais rappels sont utiles pour ∆...

Posté par
nachre : Complexe, équation second degré, périmètre 24-03-12 à 20:50

Je trouve :

z1=1+tan(t) et z2=1-tan(t)

Est ce bon ?

Posté par
Labore : Complexe, équation second degré, périmètre 24-03-12 à 21:04

OUI

Posté par
Labore : Complexe, équation second degré, périmètre 24-03-12 à 21:09

erreur:  attention ∆<0 ...
tu as perdu les nombres complexes...

Posté par
nachre : Complexe, équation second degré, périmètre 24-03-12 à 21:23

Merci j'ai bien compris tes rappels

J'ai                       = 4 - 4 * 1/ cos²t      
                              =[4(1-cos²t)]/cos²t
                              = 4 * (sin²t/cos²t)
                              = 4 tan²t

D'où   = 2  tan  t

Est ce bon ?  

D'où

z1 = 2+2 tan t /2                                      z2 = 2-2 tan t /2
z1 = 2(1+tan t)/2                                      z2 = 2(1-tan t)/2
z1 = 1 + tan t                                         z2 = 1 - tan t

Posté par
Labore : Complexe, équation second degré, périmètre 24-03-12 à 21:31

erreur à la seconde ligne:
  \Delta=4-\frac{4}{cos^2t} \\ \Delta=4(\frac{cos^2t-1}{cos^2t}) \\

Posté par
nachre : Complexe, équation second degré, périmètre 24-03-12 à 21:40

A ouai bien vu.

Du coup je ne vois pas comment faire...

Posté par
nachre : Complexe, équation second degré, périmètre 24-03-12 à 21:57


= = -4 * tan ²  t     = (2 * tan  t * i)2

D'où

= 2 * tan  t * i

Posté par
Labore : Complexe, équation second degré, périmètre 24-03-12 à 21:58

si 1-cos^2t =sin^2t  alors -(1-cos^2t)=...
tu dois résoudre dans
-1=....

Posté par
nachre : Complexe, équation second degré, périmètre 24-03-12 à 21:59

z1 = 1 - tan  t * i

z2 = 1 + tan  t * i

Is it good ?

Posté par
Labore : Complexe, équation second degré, périmètre 24-03-12 à 22:03


écris plutôt le i devant tan
z_1=1-itan(t) \\ z_2=1+itan(t)
OK
rappels
si M(z) z=a+bi

alors |z|=OM=\sqrt{a^2+b^2}

Posté par
nachre : Complexe, équation second degré, périmètre 24-03-12 à 22:04

Ok merci.

Hop je passe à la 2).

Merci .

Posté par
nachre : Complexe, équation second degré, périmètre 24-03-12 à 22:20

Donc si je comprend  p(t) est le périmètre donc la somme des côtés OM1 + M1M2 + M20

Iz1I = module de z1   je ne sais pas où se trouve la barre verticale.


Iz1I = M1 = 1² + tan²  t


Iz2I = M2 = 1² - tan²  t


D'où M1 + M2 = 1² - tan²  t    +     1² + tan²  t

Question bête : O je ne vois pas ^^.

Posté par
nachre : Complexe, équation second degré, périmètre 24-03-12 à 22:29

Non désolé je me suis totalement trompé ...  la fatigue ^^


Bref correction :

OM1= Iz1I = 1² - tan²  t

OM2= Iz2I = 1² + tan²  t

M1M2=  Iz2-z1I  

z2-z1 = 1 + i * tan  t - 1 + i * tan  t = 2 * i *tan  t

Iz2-z1I = I  2 * i *tan  t  I = 4 tan²  t

Posté par
Labore : Complexe, équation second degré, périmètre 24-03-12 à 22:31

OM_1=\sqrt{1+tan^2t} OK
OM_2  et  M_1M_2 sont faux
|M_1M_2|=|z_2-z_1|

Posté par
Labore : Complexe, équation second degré, périmètre 24-03-12 à 22:33

  nos posts se sont croisés
je récapitule:
OM_1=OM_2=\sqrt{1+tan^2(t)}
0≤t<π/2==> tan(t)≥0
==>M_1M_2=2tan(t) \\

Posté par
Labore : Complexe, équation second degré, périmètre 24-03-12 à 22:40

je t'indique ton erreur pour le module
on prend le carré de a et le carré de b ( pas de i)
|z|=sqrt{a^2+b^2}

Posté par
Labore : Complexe, équation second degré, périmètre 24-03-12 à 22:40

on prend le carré de a et le carré de b ( pas de i)
|z|=\sqrt{a^2+b^2}

Posté par
nachre : Complexe, équation second degré, périmètre 24-03-12 à 22:45

Oui tout à fait j'ai été trop vite.

p(t) = OM1 + M1M2 + M2O
p(t) = 2tan  t + 2* 1 +tan²  t
p(t) = 2(tan  t + 1 + tan²  t)

Posté par
Labore : Complexe, équation second degré, périmètre 24-03-12 à 22:51

OK
3)
il faut résoudre
tan(t)+\sqrt{1+tan^2(t)}=\sqrt{3}
rappels
tan^2t=\frac{sin^2(t)}{cos^2(t)} \\ sin^2(t)+cos^2(t)=1
si A=B
alors A^2=B^2
ensuite
pose sin(t)=X   comme 0≤t<π/2==> 0≤X<1
tu trouveras t et tu en déduiras la nature du triangle OM1M2

Posté par
nachre : Complexe, équation second degré, périmètre 24-03-12 à 23:01

J'ai
tan  t + 1/ cos²  t   = 3

Posté par
nachre : Complexe, équation second degré, périmètre 24-03-12 à 23:19

je n'arrive pas à simplifier.

Peux tu me dire  dans A² = B²

Que valent A et B ?

Posté par
Labore : Complexe, équation second degré, périmètre 24-03-12 à 23:26

A=1+sin(t)
B=√3cos(t)

Posté par
Labore : Complexe, équation second degré, périmètre 24-03-12 à 23:29

n'oublie pas que 0≤t<π/2==> cost>0
\sqrt{\frac{1}}{cos^2t}=....
tan(t)=\frac{...}{...}

Posté par
Labore : Complexe, équation second degré, périmètre 24-03-12 à 23:30

n'oublie pas que 0≤t<π/2==> cost>0
\sqrt{\frac{1}{cos^2t}}=.... \\ tan(t)=\frac{...}{...}

Posté par
nachre : Complexe, équation second degré, périmètre 24-03-12 à 23:34

Je l'ai avais trouvé mais pas pensé à l'identité remarquable.

Ca donne:

sin²  t + 2sin  t + 1 = 3cos²  t

Mais après je vois pas trop

Posté par
Labore : Complexe, équation second degré, périmètre 24-03-12 à 23:46

tu exprimes cos^2t  en fonction de sin^2t
pour avoir une expression en fonction  de sint
puis pose X=sint pour résoudre

Posté par
nachre : Complexe, équation second degré, périmètre 24-03-12 à 23:58

J'ai
sin²t + 2sint + 1 = 3(1-cos²)
4sin²t + 2sint - 2 = 0

X= sin t

4X² + 2X - 2 = 0

DELTA =128  squart DELTA =8 racine 2

x1 = -1-42/4
x2 = -1+42/4

ensuite ?

Posté par
Labore : Complexe, équation second degré, périmètre 25-03-12 à 00:03

tu peux mettre 2 en facteur
2(2X^2+X-1)=0
(2X^2+X-1)=0
∆=1+8=9
X_1=\frac{-1+3}{4}=\frac{1}{2} convient
X_2=-1 ne convient pas
sint=X=1/2 avec 0≤t<π/2==> t=...
ensuite
compare M1M2 avec OM1

Posté par
nachre : Complexe, équation second degré, périmètre 25-03-12 à 00:13

Merci beaucoup

Tu m'a énormément aidé !

Je te souhaites une bonne soirée.

Posté par
Labore : Complexe, équation second degré, périmètre 25-03-12 à 00:18

bonne rédaction...

Posté par
nachre : Complexe, équation second degré, périmètre 25-03-12 à 11:17

Merci, est-il possible que tu m'aide également ici ?

---> Complexe, fonction réciproque, cercle

Merci .


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