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Complexe et Suite
On considère la suite (Zn) de nombres complexes définie par Zo=2 et Zn+1=(rc(3)/2 - i/2)Zn :
1)Calculer (rc(3)/2 - i/2)^3 et en déduire (rc(3)/2 - i/2)^6
2)Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, Z6n+3 est un imaginaire pur.
Cordialement
bonjours à tous, j'aurais besoin de votre aide afin de résoudre se problème (je bloque surtout pour la question 2)
On considère la suite (Zn) de nombres complexes définie par Zo=2 et Zn+1=(rc(3)/2 - i/2)Zn :
1)Calculer (rc(3)/2 - i/2)^3 et en déduire (rc(3)/2 - i/2)^6
2)Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, Z6n+3 est un imaginaire pur.
Cordialement
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Sujet ancien- ne plus donner ce lien-merci
re-bonjours ,
c'est bon je pense avoir trouvé pour la question 1:
(rc(3)/2 -i/2)^3=(rc(3)/2 -i/2)(rc(3)/2 -i/2)^2=-i
donc,
(rc(3)/2 -i/2)^6=((rc(3)/2 -i/2)^3)^2=(-i)^2=-1
Mais pour la question 2 c'est le néant total , je n'ai aucune piste pour l'instant malgré du travaille (je tiens à le souligner)
Essaie d'écrire zn en faisant intervenir z0 et une exponentielle imaginaire ei*theta, en précisant theta correctement. Ensuite calculer z6n+3 en exploitant la puissance de l'exponentielle.
oulala je pense que sa va être compliqué car on a pas encore mélanger les exponentielles au nombres complexes, mais cela dit je vais quand même essayer.
merci encore pour cette piste
je calcule d'abord le module de : rc(3)/2 - i/2 =1
ensuite,
cos theta =rc(3)/2
sin theta = - 1/2
on en déduit donc par tracer géométrique que theta est égale a - π/6
Si tu as vu la fonction exponentielle en cours et la forme exponentielle d'un nombre complexe, tu peux terminer l'exercice. Dans le cas contraire, ce sera plus sage d'attendre le cours sur cette propriété et revenir sur cet exercice pour le terminer.
mais je doit le rendre a la rentrer il s'agit d'un dm, et je suis sur que je n'ai pas vue la forme exponentielle d'un nombre complexe, donc pensez vous qu'il y a une autre solution.
Ou bien c'était fait exprès pour mieux aborder le cours a la rentrer
C'est faisable et très bourrin en utilisant la forme trigonométrique et toutes formules de trigonométrie, rarement utilisées dans les programmes actuels du lycée. Je déconseille et privilégie le passage par la forme exponentielle plus concise.
bon j'ai enfin rédiger la question 2 dites moi ceux que vous en penser s'il vous plait ,et merci d'avance pour ceux qui le feront.
2) La suite (Zn) est de la forme Zn+1=Zn*q avec q=
3 /2 -i/2
on peut donc en déduire qu'il s'agit d'une suite géométrique .
en formule explicite cela donnerai : Zn=Zo*q^n=2(3 /2-i/2)^n
Alors, Z6n+3=2(3 /2-i/2)^6n+3
=2(3 /2-i/2)^6n*(3 /2-i/2)^3
=2[(3 /2-i/2)^6]^n*(3 /2-i/2)^3
=2(-1)^n*(-i) d'après la question 1
Cependant, je sais que pour montrer que Z6n+1 est un imaginaire pure il faut que je dise qu'il est de la forme iy et c'est le cas donc je ne vois pas comment je peux le démontrer par récurrence?
Bonjours , j'aurais besoins d'aides pour la questions 2)b) ,je suis bloqué depuis des heurs ,Merci d'avances a ceux qui prendront le temps de m'aider .Cordialement
On considère l'équation (E) : z2 -2z3 + 4= 0
1)Résoudre (E) dans l'ensemble 
.On déterminera les formes algèbriques et trigonométriques des solutions.
2)On considère la suite (Zn) de nombres complexes définie par Zo=2 et Zn+1=(rc(3)/2 - i/2)Zn :
a)Calculer (rc(3)/2 - i/2)^3 et en déduire (rc(3)/2 - i/2)^6
b)Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, Z6n+3 est un imaginaire pur.
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Bonjour,
Ne mets pas tout au pluriel, ça n'ira pas plus vite 
Qu'as-tu trouvé en 1 et 2a?
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Commence par le calcul du discriminant et en fonction de son signe continue avec les racines qui en dépendent. C'est presque du cours!
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pour la 1 et 2)a jai trouver :
1)3 +i=cos( -
/6) + isin( -/6)
2)a)(3 /2 -i/2)3=-i
(3 /2 -i/2)6=-i*-i=-1
merci encore pour se qui réussiront a m'aider pour la 2)b
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Pour la 2b, après avoir calculé les puissances 3 et 6, essaie d'imaginer ce qui se passe pour les puissances multiples impaires de 3
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le problème c'est que je n'ai pas compris votre question "essaie d'imaginer ce qui se passe pour les puissances multiples impaires de 3"
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Z6n+3=z3(2n+1) et 2n+1 est un nombre impair.
N'oublie pas que tu as affaire à une suite géométrique. Tu peux écrire zn en fonction de n et de e0
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Mais faut-il que je démontre qu'il s'agit d'une suite géométrique ou bien je dit juste qu'elle est de la forme Zn+1=q*Zn
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On considère la suite (Zn) de nombres complexes définie par Zo=2 et Zn+1=(rc(3)/2 - i/2)Zn
Si ça ne te semble pas évident (c'est la définition), démontre le...
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alors ,Z6n+3=2(3 /2-i/2)6n+3
=2(3 /2-i/2)6n*(3 /2-i/2)3
=2[(3 /2-i/2)^6]n*(3 /2-i/2)3
=2(-1)^n*(-i) d'après la question 1
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Voilà. Tu peux maintenant te servir du résultat de la question 2a pour répondre
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mais la je ne voit pas de démonstration par récurrence ???
un peu d'aide svp
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mais je ne vois pas le rapport avec démontrer par récurrence que Z6n+1 est un imaginaire pure???
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Ou plutôt je ne sais pas qu'elle est l'hypothèse de récurrence pour ma démonstration par récurrence
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Zn=Zo*qn=2*(
3 /2-i/2)nDonc, Z6n=2*(
3 /2-i/2)6n=2*)(3 /2-i/2)6)n=...
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C'est surtout réel.
Et quand tu le multiplie par (....)³ qui est imaginaire, ça donne un ...
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"Et quand tu le multiplie par (....)³ qui est imaginaire, ça donne un …"imaginaire pur
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mais la question 2)b) est je cite "Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, Z6n+3 est un imaginaire pur. "
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