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complexe le retour..
Bonsoir a tous,
voila mon probleme:
On me donne le polynome suivant:
P(z)=(z^6)-(6z^5)+(15z^4)-(20z^3)+(15z²)-(6z)-(63) rq:^=puissance
J'ai pu l'ecrire de cette facon:
P(z)=(z²-4z+3)(z^4-2z^3+4z²-6z-21)
je sais que P(-1)=0 et P(3)=0
soit M1 d'affixes z1=-1
et M2 d'affixe z2=3
On me demande de determiner les complexes z3 et z4 tel que:
P(z3)=P(z4)=0
Re(z3)=Re(z4)=0 rq:il y a une parenthese qui relie tout cela
im(z3)>0
im(z4)<0
Re=partie reelle
im=partie imaginaire
la je bloque...
j'ai pose z3=x+iy z4=x'+iy'
donc j'ai dis que:
x+iy=x'+iy'=0
x=x'=o
iy>0
iy'<0
Mais apres....
Merci d'avance
salut
si tu sais que P(-1)=0 et P(3)=0 alors tu peux continuer à factoriser ton P(z)=(z²-4z+3)(z^4-2z^3+4z²-6z-21) tu vois que le -1 annule le polynôme de degré 4 donc tu peux le factoriser par (z+1) et le 3 annule celui de degré 2 donc tu peux le factoriser par z-3
ensuite tu continue à essayer de factoriser commer ça jusqu'à ce que tu trouves toutes les racines (y'aura surement à un moment un polynome de degré 2 avec un delta <0) et ensuite tu cherches celles qui conviennet aux conditions de l'enoncé
voilà
bonne chance
je bloque 
pour pouvoir factoriser )(z^4-2z^3+4z²-6z-21) 
ok pour: (z²-4z+3) = (z-1)(z-3)
pour cela
z^4-2z^3+4z²-6z-21) j'ai ecrit :z²(z²-2z+4)-6z-21 mais apres
IL NE ME RESTE PLUS QUE CETTE SOLUTION 
j'ai beau essayer... 
rien ne me vient a l"esprit... 
salut
si tu n'y arrives pas ne serait pas du au fait que des le debut ta factorisation est fausse ?
explication :
moi je trouve
ensuite developpe
je te laisse finir.
en fait non l'exo ne demande pas une factorisation complete.
tu as
on cherche z3 et z4 comme indique plus haut.
les parties imaginaires de z3 et z4 etant differentes de 0 donc z3 different de -1 et de 3 tout comme z4.
on prend
donc z3 et z4 annule Q.
on pose
et on a
ce qui fait :
et
on resouds ce systeme :
a toi de conclure.
M E R C I minautore pour m'avoir montré mon erreur...
minotaure
Derniere petite question:
lorsque tu as :z^4-4z^3+10z²-12z+21 comment arrives tu a le factoriser?
pour
c'etait de la chance : je n'avais pas vu les hypotheses sur z3 et z4 et j'ai essaye de chercher a tel que
par contre l'exo ne demande pas de le factoriser.
c'est sur ce polynome qu'il faut travailler avec les hypotheses sur z3 et z4. -> voir message 29/04/05 23h25
Merci minotaure... je viens de le terminer....car il y avait deux autres questions a suivre!
la question 4 b)j'ai dit que le polygonne est compose de 6 triangles equilateraux de cote 2...
par contre pour la a)je crois que pour demontrer qu'ils sont sur le cercle je dois calculer le module de chacun...mais une petite explication serait la bienvenue pour que ce soit claire dans ma petite tete...
Le module de chacun ...
Qu'entends tu par là ?
Pour "éclaircir", reviens à la définition d'un module...
Philoux
en positionnant mes points dans un repere, je remarque que I(1,0) est le centre de ce cercle qui a pour rayon 2
donc je sais que le cercle de centre i et de rayon r a pour equation:
module de (z-zI)=r
donc je vais remplacer le z avec la valeur de chaque point et normalement je dois trouver 2 a chaque fois...
Par contre le centre de ce cercle je l'ai trouve graphiquement...ce n'est peut etre pas ce qu'ils attendaient?
Ok : la méthode est acquise (tu parlais de module à 10:55 sans préciser que c'était z-zI...)
et l'aire ?
Philoux
pour l'air j'applique la formule du polygone regulier
donc on doit obtenir: A=(6*2*rac3)/2 soit A=10.39 cm²...
>hep
pas trop vite !
Par contre le centre de ce cercle je l'ai trouve graphiquement...ce n'est peut etre pas ce qu'ils attendaient?
Tu as des points sur Ox et d'autres sur Oy
le centre du cercle doit donc être à l'intersection des médiatrices, non ?
Philoux
n'y a t il pas un rapport avec le triangle de pascal...
S'il y en a, je ne le vois pas...
Je ne pense pas, à vrai dire.
En revanche, pour le cacul d'aire, tu parles de polygone régulier
L'as-tu démontré ?
SI c'est "parce que vu sur le dessin", ce n'est pas bon !
Philoux
pour pascal je vois que
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1 ....cela ressemble a mon equation!...
pour l'aire je crois que... "huston on a un probleme"...
Très bon, shoulz
Effectivement tu mets le doigt sur qqchose de très intéressant.
On peux en effet ecrire :
P(z)=(z^6)-(6z^5)+(15z^4)-(20z^3)+(15z²)-(6z)-(63)=(z^6)-(6z^5)+(15z^4)-(20z^3)+(15z²)-(6z)+1-(64)
Ensuite (z^6)-(6z^5)+(15z^4)-(20z^3)+(15z²)-(6z)+1 =(z-1)^6
Vois-tu la suite à dérouler ?
(TRES TRES BONNE REMARQUE !!)
Philoux
je dirais (z-1)^6=2^6
donc ((z-1)/2)^6=1
donc z-1/2 est racine...
pas exactement,
(z-1)^6=2^6 signifie que z-1 est l'ensemble des racines sixièmes de 2.
Tu as du voir les racines nièmes de l'unité (z^n=1) qui correspond aux n racines situées sur le cercle trigo, réparties sur 2pi/n.
Ici le centre n'est pas O mais I(1,0) déduit de z-1
et le rayon n'est pas 1 mais 2, déduit de 2^6.
Par suite, on pouvait répondre DIRECTEMENT (grâce à ta remarque judicieuse que je n'avais pas vu au début) :
tracer un cercle de rayon 2 et de centre I(1,0)
placer la 1° racine z=3 et déduire les 5 autres racines par rotation de 2pi/6=pi/3
On trouve, illico toutes les racines.
Bravo pour avoir su déceler les coef. du triangle de Pascal. Tu étais près du but sans le savoir.
Philoux
Cette "petite explication" avait aussi pour but de démontrer que le polygone est DONC bien régulier (ma question de 11:31)
Et comme tu connais (moi, j'ai oublié) par coeur la surface d'un polygone de n côtés inscrit dans un cercle...
sinon, tu peux calculer la surface d'un des triangles d'ouverture pi/3 et 2 côtés égaux à 2.
Je vais quitter l'
, shoulz
Bon courage avec d'autres mathîliens
Philoux
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