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Complexe, modules et arguments

Posté par
Misstey
22-01-12 à 11:03

Bonjours tout le monde , alors voilà j'ai quelque difficulté avec certain exercice et j'aimerai qu'on m'aide , voilà l'énoncé :
1) Mettre (2-2i)2012 sous la forme la plus simple possible et sans l'aide de la calculatrice (on pourra commencer par calculer le carré de 2 - 2i, puis la puissance 4 qui devraient donner un résultat sympa).
2) Mettre 2 - 2i sous forme trigonométrique et en déduire  (2-2i)2012 sous forme trigonométrique puis algébrique.

1) (2-2i)2
=(2-2i)(2-2i)
=4-4i-4i+4
=8-8i

(2-2i)4
=(8-8i)2
=(8-8i)(8-8i)
=64-64i-64i+64
=128-128i

là je sais pas trops quoi faire :/

2) 2-2i
module :
=(2²-2i²)
=(8)

Je mets (8) en facteur artificiel
(8)((2/8) -(2i/8))
Et la comme je n'arrive pas bien a me repéré ssur le cercle trigonométirique j'ai fais ceci a la calculatrice :
Arc Cos (2/8)= 0.785 rad
Arc Sin (-2/8)=-0.785 rad
l'argument est donc 0.785 rad

Pour  (2-2i)2012 j'ai fais ceci :
[8 ; 0.785 ]2012
[(8)2012 ;2012 0.785 ]
La forme algébrique est 1579i

Posté par
malou Webmaster
re : Complexe, modules et arguments 22-01-12 à 11:14

Bonjour Misstey

attention, ton 1er calcul est faux
(2-2i)² ne fait pas ce que tu dis

i² = -1...à ne pas oublier !cela va faire -8i

donc revoir la suite !

le module de 2-2i peut s'écrire 22.....

il faut connaitre les lignes trigo remarquables...

c'est un problème de pi/4, mais attention, le sinus est négatif !....

Posté par
Misstey
re : Complexe, modules et arguments 22-01-12 à 12:05

ah oui ^^
donc pour le 2)
ça me fais
=22 ((2/2 )-(i(2)/2))
=22 ((cos/4) -(sin]/4))


et donc pour (2-2i)2012 je fais comme ça  :
=[(22)2012;(-[/4 )2012)]
L'argument est (22)2012i

et pour le 1)

(2-2i)²
=(2-2i)(2-2i)
=-8i

(2-2i)4
=-64

Mais je ne sais toujours pas comment faire a partir de là =S

Posté par
malou Webmaster
re : Complexe, modules et arguments 22-01-12 à 12:14

donc (2-2i)4=-64

OK !

donc (2-2i)8=.....etc.....


attention :

Citation :
L'argument est (22)2012i


cette proposition est fausse....alors que la ligne précédente est juste !

Posté par
Misstey
re : Complexe, modules et arguments 22-01-12 à 12:48

alors pour la 2 ) c'est :
=(-[/4 )
=-503
=-i + 2k


Pour la 1)
(2-2i)8=4096
(2-2i)16=16777216 mais pour cette méthode j'aurai besoin de la calculatrice or l'énoncé nous demande de ne pas l'utilisé .

Posté par
malou Webmaster
re : Complexe, modules et arguments 22-01-12 à 12:54

OK pour l'argument

(2-2i)4=-64
donc moi, j'écrirais,
(2-2i)8= 84et je laisse comme ça !

Posté par
Misstey
re : Complexe, modules et arguments 22-01-12 à 13:31

ah ok  donc je continue et ç me fait
(2-2i)8= 84
(2-2i)16= 88
(2-2i)32= 816
(2-2i)64= 832
(2-2i)128= 864
(2-2i)256= 8128
(2-2i)512= 8256
(2-2i)1024= 8512
(2-2i)2048= 81024


(2-2i)2012= 81024-(816+82)

(2-2i)2012= 8494

Posté par
malou Webmaster
re : Complexe, modules et arguments 22-01-12 à 13:56

de (2-2i)8= 84

tu peux passer directement à (2-2i)1024= 8512

bon, mais je ne vois pas ce que tu as raisonné pour la ligne suivante...

je viens de penser que tu peux aussi partir de

(2-2i)8= 212

c'est plus futé...
comme ça tu arrives directement à ton exposant 2012....

Posté par
Misstey
re : Complexe, modules et arguments 22-01-12 à 13:59

ah d'accord, Merci beaucoups =)



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