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complexe sans récurrence...

Posté par exilim (invité) 27-04-07 à 00:13

Bonsoir,
en posant pour 3$n \in\mathbb{N} et 3$t \in\mathbb{R}
3$ S_n(t)=1+2\sum_{k=1}^n cos (2kt)
comment prouver que pour certaines valeurs de t on a
3$ S_n(t)=\frac{sin((2n+1)t)}{sin(t)}?
Or l'énoncé de l'exercice interdit l'utilisation du principe de récurrence et invite a utiliser les complexes, et c'est la que ca commence a se compliquer...
Merci de votre aide !

Posté par
Cauchyre : complexe sans récurrence... 27-04-07 à 00:20

Bonsoir,

voit cos(2kt) comme la partie réelle d'un certain complexe et Re(a+b)=Re(a)+Re(b) donc tu fais apparaitre une somme géométrique et tu vois ce que tu obtiens.

Posté par
perroquetre : complexe sans récurrence... 27-04-07 à 00:21

S_n(t) est la somme des  e^(ikt), pour k variant de -n à n. On reconnaît ensuite la somme des 2n+1 premiers termes d'une suite géométrique de raison e^(it).

Posté par
Roulianere : complexe sans récurrence... 27-04-07 à 00:22

Bonsoir,

Il me semble de toute façon que la récurrence est moins évidente que la méthode exposée par Cauchy et perroquet.

Posté par
raymond Correcteurcomplexe sans récurrence... 27-04-07 à 00:25

Bonsoir.

Pose : 3$\textrm T_n(t) = 2\Bigsum_{k=1}^nsin(2kt)

Puis, calcule Sn(t) + iTn(t).
Tu verras apparaître la somme des termes d'une suite géométrique de raison 3$e^^{2it}

A plus RR.


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