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"Complexe simple" pour se détendre

Posté par derby (invité) 22-04-05 à 15:28

Voici un autre exercice assez anodin :

Résoudre dans C l'inconnu z :

z² = 48 + 14 i
plusieurs solutions possibles

Merci de me donner vos réponses.

Posté par
isisstruissre : "Complexe simple" pour se détendre 22-04-05 à 15:40

Bonjour derby!

Je te conseille de mettre 48+14i sous la forme re^{i\phi}.

Car si on a z^2=re^{i(\phi+2\pi k)}\qquad k\in\mathbb{Z} on peut dire que z=sqrt{r}e^{i(\phi/2+\pi k)}\qquad k\in\mathbb{Z}

Et tu trouveras tes 2 solutions.

Isis

Posté par derby (invité)re : "Complexe simple" pour se détendre 22-04-05 à 15:52

Ok isis, mais comment transferer de l'argument à la valeur numérique du complexe?

Posté par
isisstruissre : "Complexe simple" pour se détendre 23-04-05 à 21:45

Bosoir!

J'espère que la suite de la discussion t'intéresse un peu malgré le temps écoulé...

Je commence par calculer le module de z²:
|z^2|=\sqrt{48^2+14^2}=50\\ \Rightarrow\qquad z^2=50(\frac{24}{25}+i\frac{7}{25})

Puis j'en tire des coclusions quant à son argument:
\theta=arg(z^2)\Rightarrow\qquad cos(\theta)=\frac{24}{25},\qquad sin(\theta)=\frac{7}{25}

J'utilise ensuite la formule 2cos²(x/2)=1+cos(x) et son équivalent 2sin²(x/2)=1-cos(x):
cos^2(\frac{\theta}{2})=\frac{1+\frac{24}{25}}{2}=\frac{49}{50}\\ sin^2(\frac{\theta}{2})=\frac{1-\frac{24}{25}}{2}=\frac{1}{50}

Puis je conclus la valeur de z:
z_1=\sqrt{50}(cos(\frac{\theta}{2})+isin(\frac{\theta}{2}))=7+i\\ z_1=\sqrt{50}(cos(\frac{\theta}{2}+\pi)+isin(\frac{\theta}{2}+\pi))=-7-i

L'avantage de cette méthode c'est qu'elle marche tout aussi facilement pour des racines autres que la racine carrée. Tu peux aussi passer par l'écriture z=a+bi, mais je trouve plus compliqué et si la racine est cubique ou autre cela devient vite très compliqué:
z^2=(a+bi)^2=a^2-b^2+2abi\qquad\Rightarrow\qquad \{\array{a^2-b^2&=&48\\ ab&=&7}\.

Tu peux utiliser la méthode de la substitution, et il faudra éliminer des solutions ensuite, il ne faut pas se tromper.

Isis


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