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Complexe,suite
Bonjour je suis coincé au derniere exercice de mon dm:
On se place dans le plan complexe (o,u,v) on note C l'ensemble des nombres complexe
Soit l'equation E:z^2-2v3z+4=0
1)resoudre l'equation dans c (aucun probleme s=v3-i et v3+i)
2).on considere la suite Pn des points du plan d'affixes zn=2^ne^i(-1)^npi/6
a)verifier qua z1 est solution de (E)(aucun probleme)
b).ecrire z2 et z3 sous forme algebrique(aucun probleme)
C).placer les points p1,p2,p3 ,p4 tracer p1p2 p2p3 et p3p4 aucun probleme la aussi
3).calculer et montrer que PnPn+1=2^nv3 a partir de cette question je bloque je ne trouve absolument pas
4). On a ln=p1p2+p2p3+...+pnpn+1
a).montrer que pour tout n ln=2v3(2^n-1)
b).determiner le plus petit entier naturel n tel que ln superieur ou egal a 1000
Merci bcp pour votre aide!
zn=2^ne^i(-1)^npi/6
est équivalent à
Si ce n'est pas ce que tu voulais écrire, alors remets les parenthèses qui manquent dans ton expression.
Bonjour,
Que représentent les points p1, p2, p3 et p4 ? Je suppose que ce sont les points d'affixes respectives z1, z2, z3 et z4.
Si c'est le cas, pour la question 3 :
Commences par calculer les premiers termes : p1p2, p2p3, p3p4, puis d'essayer de voir une quelconque relation avec l'expression qu'on te donne.
PnPn+1=2^nv3
C'est quoi le v ? Ça désigne la racine carrée ?
Donc c'est bien :
3)
z(n) = 2^n . e^(i(-1)^n . pi/6)
z(n+1) = 2^(n+1) . e^(i(-1)^(n+1) . pi/6)
a) Supposons n pair, on a alors:
z(n) = 2^n . e^(i.pi/6) = 2^n(cos(Pi/6) + i.sin(Pi/6))
z(n+1) = 2^(n+1) . e^(-i.pi/6) = 2^(n+1).(cos(Pi/6) - i.sin(Pi/6))
z(n+1) - z(n) = 2^(n+1).(cos(Pi/6) - i.sin(Pi/6)) - 2^n(cos(Pi/6) + i.sin(Pi/6))
z(n+1) - z(n) = 2^n.cos(Pi/6)*(2-1) - i . 2^n.sin(Pi/6)*(2+1)
z(n+1) - z(n) = 2^n.cos(Pi/6) - i . 3*2^n.sin(Pi/6) = 2^n * (cos(Pi/6) - i.3.sin(Pi/6))
|z(n+1) - z(n)| = 2^n * V(cos²(Pi/6) + 9.sin²(Pi/6)) = 2^n * V(3/4 + 9/4) = 2^n * V3
----
De la même manière, anvec n impair :
z(n) = 2^n . e^(-i.pi/6) = 2^n(cos(Pi/6) - i.sin(Pi/6))
z(n+1) = 2^(n+1) . e^(i.pi/6) = 2^(n+1).(cos(Pi/6) + i.sin(Pi/6))
... on arrive à |z(n+1) - Z(n)| = 2^n * V3
----
Et donc pour tout n de N*, on a |z(n+1) - Z(n)| = 2^n * V3
--> PnPn+1 = 2^n*V3
Sauf distraction.
Bonjours merci beaucoup!!!!
Par contre je ne comprend pas le (2-1) et (2+1)
Oui le v est une racine carré
Par contre je ne comprend pas le (2-1) et (2+1)
En plus que détaillé :
...
z(n+1) - z(n) = 2^(n+1).(cos(Pi/6) - i.sin(Pi/6)) - 2^n(cos(Pi/6) + i.sin(Pi/6))
z(n+1) - z(n) = 2^(n+1).cos(Pi/6) - 2^ncos(Pi/6) - 2^(n+1).i.sin(Pi/6)) - 2^n . i.sin(Pi/6)
z(n+1) - z(n) = 2 * 2^n.cos(Pi/6) - 2^n.cos(Pi/6) - 2 * 2^n.i.sin(Pi/6)) - 2^n . i.sin(Pi/6)
z(n+1) - z(n) = 2^n.cos(Pi/6) * (2-1) - 2^n.i.sin(Pi/6)) * (2 + 1)
z(n+1) - z(n) = 2^n.cos(Pi/6) - 3 * 2^n * i * sin(Pi/6))
z(n+1) - z(n) = 2^n.(cos(Pi/6) - 3 i * sin(Pi/6))
Sauf distraction.
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