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Complexe suite

Posté par
zing 27-02-24 à 21:01

Bonsoir à vous ! Dans cette exercice j'ai réduit car j'ai put traiter les questions précédentes. La je suis bloqué sur celle-ci  
Soit la suite des points  ( Mn )du plan complexe.  Mn est d'affixe zntels que z0 =8 et pour tout entier n  zn+1= (1+i3)/(4)zn
Soit m = arg(zn)[2]. Montrer que la suite (m)nest une suite périodique. Merci de m'aider

Posté par
lakere : Complexe suite 27-02-24 à 21:19

Bonjour,
z_{n+1}=\dfrac{1}{2}e^{\frac{i\pi}{3}}z_n
Tu peux passer aux arguments des deux membres.

Posté par
zingre : Complexe suite 27-02-24 à 21:25

Après avoir mis zn+1 sous cette forme la suite c'est quoi ?

Posté par
lakere : Complexe suite 27-02-24 à 21:30

La suite, c'est passer aux arguments.

Citation :
z_{n+1}=\dfrac{1}{2}e^{\frac{i\pi}{3}}z_n

Si deux complexes sont égaux (les deux membres de ce que j'ai écrit), leurs arguments le sont aussi (modulo 2\pi)

Et un argument d'un produit est la somme des arguments.

Posté par
zingre : Complexe suite 27-02-24 à 21:42

J'arrive pas

Posté par
lakere : Complexe suite 27-02-24 à 21:51

Je te rappelle l'énoncé (où j'ai corrigé une coquille) :

Citation :
Soit n = arg(zn)[2].


Premier membre : z_{n+1}. Peux-tu donner un argument de z_{n+1} (Relis ce que j'ai cité) ?

Second membre \dfrac{1}{2}e^{\frac{i\pi}{3}}z_n
C'est un produit. Et donc un argument de ce second membre est :

  arg\left(\dfrac{1}{2}\right)+arg\left(e^{\frac{i\pi}{3}}\right)+arg(z_n)\;\;[2\pi]

Il n'est pas difficile de trouver un argument de chacun des trois termes.

Posté par
zingre : Complexe suite 27-02-24 à 21:52

D'accord compris

Posté par
lakere : Complexe suite 27-02-24 à 21:56

J'espère mais il faut nous donner ton résultat pour qu'on puisse poursuivre (avec une égalité modulo 2\pi)

Posté par
lakere : Complexe suite 27-02-24 à 22:07

Tu es déconnecté mais ta question est encore loin d'être résolue ...
A plus tard peut-être ...

Posté par
zingre : Complexe suite 27-02-24 à 22:11

Arg(1/2) j'ai trouvé  2 mais ici comment faire pour avoir arg(zn)

Posté par
zingre : Complexe suite 27-02-24 à 22:12

Non je cherchais  ça me menace vraiment

Posté par
lakere : Complexe suite 27-02-24 à 22:21

Je te rappelle que les arguments sont donnés modulo 2\pi

Donc 2\pi c'est aussi 0 modulo 2\pi

De toute manière, tu es sensé savoir qu'un argument d'un réel positif (ici \dfrac{1}{2}) est 0 non ?

Citation :
mais ici comment faire pour avoir arg(zn)


Mais l'énoncé te le dit ! arg(z_n)=\theta_n\;\;[2\pi]

et de la même manière, arg(z_{n+1})=\theta_{n+1}\;\;[2\pi]
Reste à déterminer un argument de e^{\frac{i\pi}{3}} (il suffit de le lire !)

Et à écrire ton égalité.

Posté par
zingre : Complexe suite 27-02-24 à 22:32

Sont arg est = /3

Posté par
lakere : Complexe suite 27-02-24 à 22:33

Citation :
Et à écrire ton égalité.

Posté par
zingre : Complexe suite 27-02-24 à 22:37

0[2] ÷ /3[2]+n[2]

Posté par
zingre : Complexe suite 27-02-24 à 22:37

C'est + et non ÷

Posté par
lakere : Complexe suite 27-02-24 à 22:45

Je ne vois pas de signe "=".
J'abrège :

  \theta_{n+1}=\theta_n+\dfrac{\pi}{3}\;\;[2\pi]

Autrement dit, modulo 2\pi, la suite (\theta_n) est une suite arithmétique de raison r=\dfrac{\pi}{3}

Pour toute suite arithmétique (u_n) de raison r, tu dois connaître ce genre de formule :

   u_{n+p}=u_n+pr

Ici avec la suite (\theta_n) arithmétique de raison r=\dfrac{\pi}{3}, tu peux calculer \theta_{n+6} en fonction de \theta_n (toujours modulo 2\pi)
Soit "à la main" soit directement avec la formule que je t'ai rappelée.

Posté par
zingre : Complexe suite 27-02-24 à 23:00

Bon pour montrer qu'une suite est périodique il faut conjecture ?

Posté par
lakere : Complexe suite 27-02-24 à 23:03

Calcule déjà \theta_{n+6} en fonction de \theta_n (ce sera modulo 2\pi bien sûr)

Posté par
zingre : Complexe suite 27-02-24 à 23:15

n+6= n +2

Posté par
lakere : Complexe suite 27-02-24 à 23:18

Oui !
Mais remarque qu'on travaille modulo 2\pi et donc qu'on a l'égalité :

\theta_{n+6}=\theta_n\;\;[2\pi]

et la conclusion : la suite (\theta_n) est périodique de période 6.
Ta question est terminée.

Posté par
zingre : Complexe suite 27-02-24 à 23:22

Merci mais je comprends à peine

Posté par
lakere : Complexe suite 27-02-24 à 23:36

Modulo 2\pi :

arg(z_0)=0=\theta_0=\theta_6=\theta_{12}=\theta_{18}=\cdots (tous les z_n où n est multiple de 6 sont des réels positifs)

arg(z_1)=\dfrac{\pi}{3}=\theta_1=\theta_7=\theta_{13}=\theta_{19}=\cdots

arg(z_2)=\dfrac{2\pi}{3}=\theta_2=\theta_8=\theta_{14}=\theta_{20}=\cdots

arg(z_3)=\pi=\theta_3=\theta_9=\theta_{15}=\theta_{21}=\cdots (tous les z_n où n est un multiple de 6 plus 3 sont des réels négatifs)

arg(z_4)=\dfrac{4\pi}{3}=\theta_4=\theta_{10}=\theta_{16}=\theta_{21}=\cdots

arg(z_5)=\dfrac{5\pi}{3}=\theta_5=\theta_[11}=\theta_{17}=\theta_{22}=\cdots

Si tu le juges utile, je ferai un dessin plus tard avec les z_0,z_1,z_2\cdots reportés.

Posté par
zingre : Complexe suite 28-02-24 à 04:44

D'accord merci

Posté par
lakere : Complexe suite 28-02-24 à 12:45

Bonjour,

Seuls les premiers points A_0,A_1,A_2,A_3,A_4,A_5,A_6 d'affixes z_0,z_1,z_2,z_3,z_4,z_5,z_6 sont reportés.
Le point A_0 n'est pas "visible" : c'est le point d'affixe 8 sur l'axe des réels en dehors de la figure à droite.
Remarque l'angle \theta_1= \dfrac{\pi}{3} et ses multiples (non reportés).
Complexe suite

Posté par
zingre : Complexe suite 28-02-24 à 22:23

Bonsoir lake je tient à vous remercier cette exercice  est venu pendant l'évaluation  merci beaucoup  

Posté par
carpediemre : Complexe suite 29-02-24 à 09:57

salut

cet exercice est un classique de math expertes et surement l'énoncé est très incomplet : on doit certainement te demander quelque part de montrer que la suite (z_n) est géométrique ...

à partir du premier msg de lake on déduit immédiatement que z_n = \left( \dfrac 1 2 \right)^n e^{i n\frac \pi 3} z_0 et en particulier

z_{n + 6}  = \left( \dfrac 1 2 \right)^{n + 6} e^{i (n + 6)\frac \pi 3} z_0 = \dfrac 1 {2^6}z_n

et en passant aux arguments donne \arg (z_{n + 6}) = \arg (z_n)


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