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Niveau Maths sup
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Complexe... verification

Posté par Vins (invité) 04-09-05 à 14:05

Bonjour,

De retour de vacances, le prof de sup nous a filé une bonne dose d'exo sur les complexes pour nous remettre dans le bain (enfin surtout pour nous mettre dans le bain ).
La majeur partie consiste en des démonstration d'égalité ou de déduction a partir d'équation.
Cependant, ces 2 mois de vacances m'ont complètement joué des tours au niveau des complexes, et je ne suis pas totalement sur des opérations que j'utilise dans mes calculs (oui, j'ai oublié pas mal de choses de mes cours de term ! )

Et notamment, quelquechose en particulier, et c'est pourquoi je post ici.

Alors,

Soit z et z' appartement a C (complexe).

J'ai l'inéquation suivante : lz+z'l + lz-z'l < (ou egal) 2( lzl + lz'l )

Il faut que je déduise de cette inéquation que :

lzl + lz'l < (ou egal) lz+z'l + lz-z'l


J'ai dit : Soit les nombres complexe Z et Z' tel que
Z = z + z'  et Z' = z - z'

A partir de là j'en déduis que :

Z - Z' = 2 z' donc l Z - Z' l = 2 lz'l
et
Z + Z' = 2 z donc  l Z + Z' l = 2 lzl

Donc je peux réecrire la première inéquation :

lZl + lZ'l < lZ+Z'l + lZ-Z'l

Mais là, je me suis demandé si je pouvais considérer que Z-Z' était l'expression conjugé de Z+Z' et comme lzl = lz*l (avec z* le conjugé de z)

Alors lZ+Z'l = lZ-Z'l
et lZ+Z'l = ( lZ+Z'l + lZ-Z'l )/2

D'après l'inégalité triangulaire, on peut écrire que :

lZ+Z'l < lZl + lZ'l

donc : ( lZ+Z'l + lZ-Z'l )/2 < lZl + lZ'l

Et si on remplace Z et Z' par leur equivalent en z et z' on obtient :

lz+z'l + lz-z'l > 2( lzl + lz'l ) / 2

soit : lz+z'l + lz-z'l > lzl + lz'l

j'arrive a mon résultat, mais je ne suis pas sur des quelques manips que j'ai fait. Donc si qqun pourrait me dire si je suis dans le bon chemin. Et dans le cas contraire, m'indiquer comment faire
Merci d'avance.

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
Complexe... verification 04-09-05 à 15:46

Bonjour Vins,par l'inégalité triangulaire tu as:
\{{\forall(z,z')\in\mathbb{C}\times\mathbb{C}\\|z+z'|+|z-z'|\le|z|+|z'|+|z|+|z'|=2(|z|+|z'|)
ainsi cette inégalité est vérifiée quelque soit les complexes z et z'.
déducion
posons \fbox{Z=\frac{z+z'}{2}\\Z'=\frac{z-z'}{2}} et appliquons l'inégalité précedente pour Z et Z' on a donc que:
|Z+Z'|+|Z-Z'|\le2(|Z|+|Z'|) et ceci n'est que:\fbox{|z|+|z'|\le|z+z'|+|z-z'|} CQFD

Posté par Vins (invité)re : Complexe... verification 04-09-05 à 19:26

aah ! Donc en fait je me complique la vie (sans pour autant être sur que cela soit bon )
C'est vrai qu'en prenant le postulat qe l'inégalité est vrai pour tous complexe, il suffit de trouver le bon Z et Z' et ca roule ^^.

Merci beaucoup de m'avoir aidé !



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