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Complexes
Bonjour, l'exercice est long, mais je ne bloque qu'à la dernier question, merci de m'aider... :$
Pour tout point M de coordonnées (x,y), on désigne par z = x + iy son affixe. On note A et B les points d'affixe respectives i et -2i. Soit f l'application qui, à tout point M d'affixe z distinct de i, associe le point M' d'affixe z' définie par z' = (2z - i) / (iz + 1).
1) Soit z un nombre complexe différent de 1.
a) On désigne respectivement par r et 
le module et un argument de z-i .Interpréter géométriquement r et à l' aide des points A et M.
b) Montrer que (z'+2i)(z-i)=1
c) On désigne respectivement par r' et ' le module et un argument de z'+2i.
Exprimer r' et ' en fonction de r et . Interpréter géométriquement r' et ' à l'aide des points B et M'
2) Soit le cercle de centre A et de rayon 1.
a) Montrer que si M appartient à C, son image M' appartient à un cercle C' dont on donnera le rayon.
b) Le cercle C' est-il l'image par f du cercle C ?
Merci d'avance 
C'est pas totalement mathématique, mais je pense que M' est l'image de M par f, d'après l'énoncé (dis-moi si j'ai bien lu).
C et C' ont même rayon.
Donc, C' est l'image par f du cercle C ?
Montrer que si M appartient à C, son image M' appartient à un cercle C' dont on donnera le rayon.
si M est sur C alors |z-i|=1 or (z'+2i)(z-i)=1 donc |z'-2i|=1
donc M'est sur le cercle de centre B et de rayon 1
ça, c'est ok!... pour la réciproque, c'est pas sur...
Mais comme il n'y a pas "si et seulement si", pas besoin de la réciproque, je pense...
Mais ce que je ne trouve pas, c'est la réponse à la question 2b...
je pense que la réponse est "oui" mais la démonstration m'échappe...
je te propose :
si N(Z) est sur C' alors Z=e^(i)-2i donc Z-2i=e^(i donc 1/(Z-2i)=e-i
en posant z-i=1/(Z-2i)=e-i
on a trouvé M(z) sur C qui a pour image N
donc tout point de C' a un antécédebt sur C donc C' est l'image de C par f
qui confirme???? 
Je n'arrive pas à comprendre ton raisonnement, mais j'aimerais bien que quelqu'un vienne confirmer ^^
En fait, la question 2b, il demande la réciproque, non ?
c'est ce que je comprends!
tout point de C' a-t-il un antécédent sur C
Je crois avoir trouvé !
En résolvant l'équation, je trouve M(1+i).
M appartient à C <=> M' appartient à C'.
Si M' appartient à C', alors, AM = 1 + i - i = 1
Ce qui prouve que C' est l'image de C !
Je me trompe quelque part ?
ok pour la solution 1+i mais après, tu mélanges les points M du cercle C et le point D d'affixe 1+i qui est aussi sur le cercle
je ne vois pas le lien entre l'équation et le cercle...
Je vois...
Sinon, un moment, je me trouve avec
|i|=|1-y+ix|
1 = V (1-y)² + x²
1 = (1-y)²+x² (j'ai élevé au carré)
Soit A(i) donc AM = 1
Ce qui confirme que C' est l'image de C ?
Je reprends mon raisonnement.
Soit M' appartient à C'
alors
|zM' - zB| = 1
|z' + 2i| = 1
...
|i/(1-y+ix)|=1
|i|=|1-y+ix|
1 = V (1-y)² + x²
1 = (1-y)²+x²
Donc, à partir de l'équation de C', on arrive à l'équation de C... :S
Après
|z' + 2i| = 1
Je remplace z' par (2z-i)/(iz+1), puis je mets sous le même dénominateur ce qui me donne le résultat plus haut...
dans ce cas, il y a plus simple puisque (z'+2i)(z-i)=1, remplace z+2i par 1/(z-i)
c'est plus direct...
au fait, qu'as-tu trouvé en 1c)
ok pour 1c)
pour 2)
r'=r=1
'=-
donc le cercle C' est bien complet quand décrit ]-
;]
- décrit aussi ]-;]
dans la mesure ou (z'+2i)(z-i)=1
on a z=1/(z'+2i) et donc pour tout complexe différent de -2i, z' a un antécédent unique
donc f est une transformation.
si |z'+2i|=1 alors |z-i|=1 et donc tout point M' de C' a son antécédent sur C
donc C' est bien l'image de C par f
correct?
ok vous avez trouvé C' apparemment
mais la question b) est bizarre
forcément que C' est image de C
puisque C' est l'ensemble des points M' image de M par rapport à f
et comme teta'= teta donc tout le cercle C' est décrit
C' est donc bien image de C par f
non?
=-
mais ça ne change pas grand chose...
la question est bien de prouver que C' est décrit en entier quand M décrit C, je pense qu'effectivement l'explication avec =- est correcte car si décrit ]-pi;pi] alors - décrit aussi ]-pi;pi]
Peut-être que out simplement, il suffit d'écrire que le rayon des deux cercles est le même.
Et puisque M a pour image M' et que M appartient à C et M' à C', alors C a pour image C'...
?
la question n'est pas absurde, on pourrait très bien avoir deux points du cercle C qui ont la même image et dans ce cas l'image de C pourrait être un demi-cercle compris dans C' par exemple....
Ah, je comprends garnouille !
Donc, si je dis que les rayons sont les mêmes et que ' = -, ça suffit ?
oui, je pense!...
mais vraiment, j'aimerais que quelqu'un de plus habitué que moi nous le confirme...
quant à toi, enchaine, ne passe pas trop de temps sur cette seule question, tu as sûrement d'autres devoirs qui t'attendent... tu pourras aussi voir avec ton prof ce qui est précisément attendu ici...
ceci étant, c'est une question de raisonnement importante et il faudra que tu trouves une façon claire d'y répondre!
j'espère t'avoir un peu aidé(e)! 
Ne t'inquiète pas, tu m'as beaucoup aidée !
Et ciocciu, merci d'être passé(e) !
Je pense que je vais écrire ça, je verrai bien, de toute manière, je veux dodo >.<
Merci encore !
J'ai pas tout lu mais si on a z' qui est sur le cercle de centre -2i et de rayon 1 alors il existe un certain a tel que z'=-2i+e^(ia).
On vérifie que z'=f(z) où z=i+e^(-ia) (et donc z sur le cercle de rayon 1 et de centre A) ce qui prouve que l'application est surjective tout élément de C' est image d'un élément de C.
J'espère ne pas m'être trompé
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