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complexes

Posté par basso (invité) 24-07-05 à 12:55

Bonjour tout le monde !
comment se passent les vacances ?

Alors voilà, moi je me suis mise à travailler un peu, et je bloque, j'aurais besoin de votre aide pour un mini problème

on pose \omega=e^{2i\pi/n}
1/ calculer selon p \in \mathbb{Z}
I_{p,n}= \sum_{k=0}^{n-1} \omega^{kp}

2/ on pose G_n=\sum_{k=0}^{n-1} \omega^{k^2}
a) montrer que pour tout j \in \mathbb{N} on a

\sum_{k=0}^{n-1} \omega^{(k+j)^2} = G_n

b) G_n\bar{G_n}=\sum_{k=0}^{n-1} \omega^{k^2}I_{2k,n}

c) en déduire une expression simple de |{G_n}|^2 en fonction de la parité de n.

Si vous pouviez m'aider ce serait très gentil, merci beaucoup ! Bonne journée à tous

Basso

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : complexes 24-07-05 à 13:06


Bonjour,

Qu'as-tu déjà trouvé/essayé ?

Pour le 1/, n'est-ce pas une la somme des termes d'une suite géométrique de premier terme ... et de raison ... ?

Nicolas

Posté par basso (invité)re : complexes 24-07-05 à 13:27

alors voilà

pour la 1/ je trouve que I_{p,n} est la somme de n premiers termes d'une suite géométrique de premier terme 1 (k=0), de raison \omega^p.
On obtient donc : I_{p,n}=\frac{1-e^{2ip\pi}}{1-e^{2ip\pi/n}}
or e^{2ip\pi}=1 d'où I_{p,n}=0, de plus si n|p alors I_{p,n} n'existe pas ... donc là je coince

Merci de m'aider

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : complexes 24-07-05 à 13:34


Tu as fait une petite erreur de raisonnement. Pour écrirer Ip,n de cette façon (fraction), il faut vérifier les hypothèses du petit théorème que tu utilises, c'est-à-dire que la raison est différente de 1, c'est-à-dire w^p différent de 1, ou encore n ne divise pas p.

Si n divise p, c'est un cas particulier, mais facile à résoudre en partant de la définition même de Ip,n.

Nicolas

Posté par basso (invité)re : complexes 24-07-05 à 13:41

ok je vois
Si n divise p alors I_{p,n}= 1 + 1 + ...+ 1 (n fois) donc I_{p,n}=n

merci de votre aide

maintenant pour la question 2/a) j'ai pensé à utiliser la division euclidienne de j par n, pour faire apparaître des simplifications, mais je ne vais pas loin de cette façon ... ...

Posté par basso (invité)re : complexes 24-07-05 à 14:08

donc je reprends avec mes j et mes k

donc en posant j=nq+r je trouve que
\sum_{k=0}^{n-1} \omega^{(k+j)^2}=\sum_{k=0}^{n-1} \omega^{(k+r)^2}

mais comment montrer qu'un des restes si on continue à faire la division de r par n, et de r' par n etc, sera égal à 0 ?

je suis désolée de vous embêter, c'est la première fois que je me penche sur des exos de prépas et j'ai du mal. Merci encore

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : complexes 24-07-05 à 14:19


Vous êtes sure de l'énoncé du 2) a) ?

Posté par basso (invité)re : complexes 24-07-05 à 14:22

oui je viens de vérifier c'est bien ça ...

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : complexes 24-07-05 à 14:35


Pour 2) a), intéressons-nous uniquement aux exposants des w

Gn : 02 12 22 ... (n-3)2 (n-2)2 (n-1)2
j=1 : 12 22 32 ... (n-2)2 (n-1)2 n2
Mais en fait, le dernier de la liste (j=1) est le même, modulo n, que le premier de la liste Gn
j=2 : 22 32 42 ... (n-1)2 n2 (n+1)2
Mais en fait, les 2 derniers de la liste (j=2) sont les mêmes, modulo n, que les 2 premiers de la liste Gn

... Il faut généraliser...

Nicolas

Posté par biondo (invité)re : complexes 24-07-05 à 14:38

Ah...

Je pense qu'il y a effectivement une erreur dans l'enonce du 2a...
Il doit manquer un facteur w^jcarre devant le G_n dans l'egalite.

Nicolas_75 va sans doute confirmer

Posté par biondo (invité)re : complexes 24-07-05 à 14:41

Mhhhhhh...

J'ai rien dit.... On oublie mon post precedent.

Posté par basso (invité)re : complexes 24-07-05 à 14:50

oui je vois maintenant
merci beaucoup !

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre:complexes 24-07-05 à 14:53

Bonjour basso;
pour n=1 tu as \omega=1 donc pour tout p\in\mathbb{Z} tu as I_n,p=G_n=n supposons alors désormais n\ge 2 (donc\omega\neq 1)
1°)on a:
I_n,p=\Bigsum_{k=0}^{k=n-1}(\omega^p)^k=\{{n,si\omega^p=1\atop\ \frac{1-\omega^{np}}{1-\omega^{p}}=0,si\omega^p\neq1}\
2°)
a) si tu note G_{n,j} cette somme tu as :
G_{n,j}=\omega^{j^2}+\omega^{(j+1)^2}+..+\omega^{(j+n-1)^2} et il te suffit maintenant(vu que \omega^n=1 )de remarquer que \omega^{(j+n)^2}=\omega^{j^2} donc
G_{n,j}=\omega^{(j+1)^2}+\omega^{(j+1)^2}+..+\omega^{(j+n-1)^2}+\omega^{(j+n)^2}=G_{n,j+1} ainsi la suite (G_n,j)_j est constante elle est donc égale à son premier terme G_n,0=G_n
b)Cette question nécéssite une certaine habilité à manipuler des sommes finies
en partant de la seconde somme on peut écrire:
\Bigsum_{k=0}^{k=n-1}\omega^{k^2}I_{{2k},n}=\Bigsum_{k=0}^{k=n-1}\Bigsum_{j=0}^{j=n-1}\omega^{(k^2+2kj)}=\Bigsum_{k=0}^{k=n-1}\Bigsum_{j=0}^{j=n-1}\omega^{(k+j)^2-j^2}=\Bigsum_{j=0}^{j=n-1}\omega^{-j^2}\Bigsum_{k=0}^{k=n-1}\omega^{(k+j)^2}=\Bigsum_{j=0}^{j=n-1}(\omega^{-1})^{j^2}\Bigsum_{k=0}^{k=n-1}\omega^{k^2}=\Bigsum_{j=0}^{j=n-1}\bar{\omega}^{j^2}\Bigsum_{k=0}^{k=n-1}\omega^{k^2}=\Bigsum_{j=0}^{j=n-1}\Bigsum_{k=0}^{k=n-1}\omega^{k^2}\bar{\omega}^{j^2}=G_{n}\bar{G_n}
Voilà je te laisse le c)

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : complexes 24-07-05 à 15:05


Voici une rédaction du 2)a) formalisant mon post précédent (sur le fond, c'est la même méthode que elhor_abdelali, mais en plus bourrin, donc moins astucieux).

On suppose que j<n, quitte à passer par la division euclidienne évoquée dans un message ci-dessus.

\Bigsum_{k=0}^{n-1} \omega^{(k+j)^2} = \Bigsum_{k=0}^{n-j-1} \omega^{(k+j)^2} + \Bigsum_{k=n-j}^{n-1} \omega^{(k+j)^2}
Dans la première somme, on fait le changement d'indice k'=k+j et dans la seconde k'=k-n+j.
\Bigsum_{k=0}^{n-1} \omega^{(k+j)^2} = \Bigsum_{k'=j}^{n-1} \omega^{k'^2} + \Bigsum_{k'=0}^{j-1} \omega^{(k'+n)^2}
Or \omega^{(k'+n)^2} = \omega^{k'^2}
Donc \Bigsum_{k=0}^{n-1} \omega^{(k+j)^2} = \Bigsum_{k'=j}^{n-1} \omega^{k'^2} + \Bigsum_{k'=0}^{j-1} \omega^{k'^2}
\Bigsum_{k=0}^{n-1} \omega^{(k+j)^2} = \Bigsum_{k'=0}^{n-1} \omega^{k'^2} = G_n

Nicolas

Posté par basso (invité)re : complexes 24-07-05 à 20:05

merci beaucoup à tous les deux, seulement voilà, je ne comprends pas un truc dans la réponse de Nicolas.
En fait je ne vois pas comment on fait le changement d'indice avec un seul nouvel indice, alors que k+j n'est pas égal à k-n+j ...
Donc si vous pouviez m'exliquer ce serait très gentil.
De même, merci beaucoup elhor_abdelali, mais je n'ai pas compris le passage d'une somme au produit de deux sommes, d'autant plus que j'avais cru comprendre que j était fixé ...

Si vous pouviez m'éclaircir un peu svp ce serait gentil

Merci d'avance

Basso

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : complexes 24-07-05 à 20:26

Voilà Basso,d'une manière générale on a:
3$(\Bigsum_{k=0}^{k=n}a_{k})(\Bigsum_{k=0}^{k=n}b_{k})=\Bigsum_{k=0}^{k=n}\Bigsum_{j=0}^{j=n}a_{k}b_{j}=\Bigsum_{j=0}^{j=n}\Bigsum_{k=0}^{k=n}a_{k}b_{j}
où en est-tu avec le c)?

Posté par basso (invité)re : complexes 24-07-05 à 20:44

merci beaucoup

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : complexes 25-07-05 à 02:48

basso, dans mon message, ma première ligne avec des formules s'écrit sans LateX :
S = S1 + S2

J'ai coupé la somme S et deux. Les sommes partielles S1 et S2 sont "différentes", "séparées", "indépendantes", ...

Ensuite, on ne fait pas un seul changement d'indice, mais un changement d'indice différent dans S1 et dans S2.
Dans S1 : k' = k+j
Dans S2 : k' = k-n+j
le but étant de ramener les éléments de S2 "devant" ceux de S1, pour exploiter la remarque de mon poste du 24/7 14h35, et reconstituer Gn

Ca va ?

Nicolas

Posté par jmix90 (invité)mais 25-07-05 à 09:17

Nicolas_75, si on fait le changement d'indices "k'=k+j" directement à la première somme, on n trouve pas directement le résultat ?

Amicalement,

Posté par basso (invité)re : complexes 25-07-05 à 14:09

à peu près
merci

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : complexes 27-07-05 à 06:17


Bonjour,

Jmix90, je ne suis pas sûr de bien comprendre.
Si tu fais le changement d'indice dans la sommede départ, tu arrives à :
\Bigsum_{k=0}^{n} {\omega^{(k+j)}^2} = \Bigsum_{k'=j}^{n+j} {\omega^{k'}^2}

Mais, ensuite, comment continues-tu ?

Nicolas


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