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complexes

Posté par audreys (invité) 09-08-05 à 09:14

bonjour,
je dois déterminer le modul et l'argument du complèxe:

Z = 1 - cos (téta) - i sin (téta)
       1 + cos (téta) - i sin (téta)

avec téta compirs entre -pi et pi

je ne vois pas comment il faut s'y prendre.
Merci

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : complexes 09-08-05 à 09:17

Vu la forme de l'expression, j'utiliserais les formules de trigonométrie classique pour exprimer tout en fonction de cos(theta/2) et sin(theta/2). Cela devrait se simplifier...

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : complexes 09-08-05 à 11:43

Rappel théorique.

Si z = z1/z2
alors:
|z| = |z1|/|z2|
arg(Z) = arg(z1) - arg(z2)
-----
Z = (1 - cos(theta) - i sin(theta))/(1 + cos(theta) - i sin(theta))

z1 = (1 - cos(theta) - i sin(theta))
|z1|² = (1 - cos(theta))² + sin²(theta)
|z1|² = 1 - 2cos(theta) + cos²(theta) + sin²(theta)
|z1|² = 1 - 2cos(theta) + 1
|z1|² = 2.(1 - cos(theta))

z2 = (1 + cos(theta) - i sin(theta))
|z2|² = (1 + cos(theta))² + sin²(theta)
|z2|² = 1 + 2cos(theta) + cos²(theta) + sin²(theta)
|z2|² = 1 + 2cos(theta) + 1
|z2|² = 2.(1 + cos(theta))

\ |Z| = \frac{|z_1|}{|z_2|} = \sqrt{\frac{1-cos(\theta)}{1+cos(\theta)}} = |tg(\frac{\theta}{2})|
---
Essaie pour l'argument ...

-----
Sauf distraction.  

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : complexes 09-08-05 à 12:21

Je détaille mon indice ci-dessus, qui permet de tout faire d'un coup.

z=\frac{1-\cos\theta-i\sin\theta}{1+\cos\theta-i\sin\theta}
= \frac{2\sin\frac{\theta}{2}\sin\frac{\theta}{2}-i 2sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}}{2\cos\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2} - i 2\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}}
=\frac{\sin\frac{\theta}{2}(\sin\frac{\theta}{2}-i\cos\frac{\theta}{2})}{\cos\frac{\theta}{2}(\cos\frac{\theta}{2}-i\sin\frac{\theta}{2})}
=\tan\frac{\theta}{2}\frac{e^{i...}}{e^{i...}}
=\tan\frac{\theta}{2}e^{i...}
=...

Nicolas

Posté par aicko (invité)re : complexes 09-08-05 à 13:33

remarque :
Z=\frac{1-e^{iO}}{1+e^{-iO}}
=\frac{e^{i\frac{O}{2}}(e^{i\frac{-O}{2}}-e^{i\frac{O}{2})}}{e^{i\frac{-O}{2}}(e^{i\frac{O}{2}}+e^{i\frac{-O}{2})}}
=e^{iO}\frac{-2isin(\frac{O}{2})}{2cos(\frac{O}{2})}
= -ie^{iO}tan(\frac{O}{2})

ainsi
mod(Z)=abs(tan(\frac{O}{2}))
arg(Z)=arg(-i)+arg(e^{iO})+arg(tan(\frac{O}{2})) [2]
= -\frac{pi}{2}+O+zero [2]
=O -\frac{pi}{2} [2]

sauf erreur

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : complexes 09-08-05 à 14:14

aicko.

Je choisis theta = -1 radian.

J'entre Z avec theta=-1 dans la calculette.
L'argument de Z trouvé par la calculette est 1,57079...

Je calcule par la solution que tu donnes:
arg(Z) = theta - (Pi/2) = -1 - (Pi/2) = - 2,57079 ...

Et même à modulo 2Pi, on ne trouve pas 1,57079...
-----

Raison: Attention au signe de tg(theta/2)

Si tg(theta/2) est négatif, alors la partie de l'argument qui vient de là est Pi et pas 0 et donc ...
-----
Sauf distraction.  


Posté par aicko (invité)re : complexes 09-08-05 à 15:24

Bonjour J.P
exact si tan(O/2) est negatif son argument est pi

autant pour moi, merci pour la correction

Posté par aicko (invité)re : complexes 09-08-05 à 15:49

remarque :
];[  

Posté par audreys (invité)re : complexes 09-08-05 à 16:39

merci pour vos réponses.
J'ai compris pour le calcul de l'argument. maintenant je suis bloquée car ,en fait, je sais pas comment on trouve l'argument quand on connais le module (je l'ai fait cette année en cours mais impossible de me souvenir). si vous pouviez me rappelé comment on fait je pourrais essayer de trouver l'argument.
Merci d'avance

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : complexes 09-08-05 à 17:08

Pas claire ta question.

Soit un nombre complexe z = a + ib

On a |z| = V(a²+b²)  (V pour racine carrée).

z = V(a²+b²).[(a/V(a²+b²) + i.b/V(a²+b²)]

un arg(z) = theta

Et theta est solution du système suivant:

cos(theta) = a/V(a²+b²)
sin(theta) = b/V(a²+b²)

Mais je ne sais pas si c'est ce que tu demandais.
-----
Sauf distraction.  

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : complexes 09-08-05 à 17:12

Je ne cherche pas à "vendre" à tout prix ma proposition de 12h21, mais elle permet de mettre z directement sous la forme \rho e^{i\theta}

Nicolas

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : complexes 09-08-05 à 17:36

Je ne suis pas sûr que la nouvelle question de audreys soit liée à la question initiale.

Quoiqu'il en soit.

Ta solution Nicolas_75 est bonne, elle ne se différentie par vraiment des autres.

puisque e^{i\theta} = cos(\theta) + i.sin(\theta)
et que \frac{e^{i\alpha}}{e^{i\beta}} = e^{i(\alpha-\beta)} que l'on compare à z = z1/z2 donne arg(z) = arg(z1)-arg(z2)

Ta solution est exactement équivalente aux autres.

Le problème reste le même car si tu essaies d'évaluer les valeurs des ... dans tes e^{i ...} tu tomberas sur les mêmes difficultés que celles qu'a trouvées aicko.

Personnellement j'aime bien utiliser les exponentielles imaginaires, cela facilite parfois les calculs.
Mais ce n'est pas vraiment le cas ici et il faut encore savoir si celui qui pose la question en connait l'usage.


Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : complexes 09-08-05 à 17:42

OK. Vu. . Je dois dire qu'aicko m'avait un peu troublé avec ses "O" que j'ai pris pour des "0". On parle tous bien de la même chose

Nicolas

Posté par audreys (invité)re : complexes 09-08-05 à 19:19

je reviens encore! je comprends toujours pas (malgré tout j'ai avancé dans la démarche).le module, il n'ya plus de problème.
je trouve donc:
Z = tan (téta/2) * sin (téta/2) - i cos (téta/2)
                        cos (téta/2) - i sin (téta/2)

après je vois pas comment on peut trouver la valeur de téta.
de plus je trouve pas logique qu'on ai "i * cos (téta/2)"(Pourquoi le cosnius est multiplié par "i"? Habituellement c'est le sinus qui est multiplié par "i").En effet, les complexes sont de la forme: z = r (cos (téta) + i * sin (téta)).

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : complexes 09-08-05 à 19:26

Tu peux le mettre sous la forme "habituelle" en remplacant t/2 par pi/2-t/2, non ?

Posté par
cinnamonre : complexes 09-08-05 à 19:38

Salut,
"je trouve donc:
Z = tan (téta/2) * sin (téta/2) - i cos (téta/2)
                        cos (téta/2) - i sin (téta/2)

(...) Habituellement c'est le sinus qui est multiplié par "i""

Tu peux utiliser le fait que -i*i = 1 et factoriser le numérateur par -i, ça se simplifie très bien...

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : complexes 10-08-05 à 06:38

Bonjour tout le monde;
je propose une solution géométrique:
4$\blue Z=\frac{1-e^{i\theta}}{1+e^{-i\theta}}=\frac{Z_{A}-Z_{M}}{Z_{M'}-Z_{A'}} d'où:
4$\red\{{|Z|=\frac{AM}{A'M'}=\frac{AM}{A'M}=|tan(\frac{\theta}{2})|\\arg(Z)=\widehat{(\vec{A'M'},\vec{MA})}\equiv\theta-\frac{\pi}{2}[2\pi]
Sauf erreur bien entendu

complexes

Posté par audreys (invité)re : complexes 10-08-05 à 08:00

bonjour, maintenant j'ai encore une question comme je peux déterminer l'argument? je sais que c'est téta- pi/2 il faut que je sois plus précise?
Si c'est le cas je ne vois toujours pas comment on peut y arriver.
merci pour vos réponses.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : complexes 10-08-05 à 08:10

Audrey, il faut que tu relises ton cours sur les complexes...
Si z s'écrit sous la forme z=\rho e^{i\theta} avec \rho\ge 0, alors \rho est le module, et \theta l'argument (modulo 2\pi).

Ici, il faut distinguer 2 cas pour aboutir à un \rho positif.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : complexes 10-08-05 à 08:21

z=\tan \frac{\theta}{2} \frac{\sin \frac{\theta}{2} - i \cos \frac{\theta}{2}}{\cos \frac{\theta}{2} - i \sin \frac{\theta}{2}}
=\tan \frac{\theta}{2} \frac{\cos(\frac{\theta}{2}-\frac{\pi}{2}) + i \sin (\frac{\theta}{2}-\frac{\pi}{2})}{\cos(-\frac{\theta}{2})+i\sin(-\frac{\theta}{2})}
=\tan \frac{\theta}{2}\frac{e^{i(\theta /2 - \pi /2)}}{e^{-i\theta /2}}
=\tan \frac{\theta}{2} e^{i(\theta/2+\theta/2-\pi/2)}
=\tan\frac{\theta}{2} e^{i(\theta-\pi/2)}

On sait que \theta \in [-\pi;\pi]

1er cas : si \theta \in [-\pi;0]
Alors \tan \frac{\theta}{2} \le 0
z=-(-\tan \frac{\theta}{2}) e^{i(\theta-\pi/2)}
=e^{i\pi} (-\tan \frac{\theta}{2}) e^{i(\theta-\pi/2)}
=(-\tan \frac{\theta}{2}) e^{i(\theta+\pi/2)}
Le module est -\tan \frac{\theta}{2} et l'argument \theta+\pi/2 modulo 2\pi

2nd cas : si \theta \in [0;\pi]
Alors \tan \frac{\theta}{2} \ge 0
Le module est \tan \frac{\theta}{2} et l'argument \theta-\pi/2 modulo 2\pi

Sauf erreur.

Nicolas

Posté par audreys (invité)re : complexes 10-08-05 à 08:32

merci. Je n'est jamais vu quelque chose d'aussi compliqué en cours de terminale. C vrai que les complexes n'est pas mon chapitre préféré mais je comprenais un peu. Je sais ce qu'il me reste a faire maintenant.
merci à tous

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : complexes 10-08-05 à 11:37

Autrement, En suivant la suggestion subtile de cinnamon (message du 09/08/2005 à 19:38)

z = tg(theta/2) .(sin (theta/2) - i cos (theta/2))/(cos (theta/2) - i sin (theta/2))

z =(1/i). tg(theta/2) .(i.sin (theta/2) - i² cos (theta/2))/(cos (theta/2) - i sin (theta/2))

z = (1/i). tg(theta/2) .(cos (theta/2) + i.sin (theta/2) )/(cos (theta/2) - i sin (theta/2))

z = (1/i). tg(theta/2) .(cos (theta/2) + i.sin (theta/2) )/(cos (-theta/2) + i sin (-theta/2))

arg(z) = arg(tg(theta/2)) - arg(i) + arg(cos (theta/2) + i.sin (theta/2) ) - arg(cos (-theta/2) + i sin (-theta/2))

arg(z) = arg(tg(theta/2)) - (Pi/2) + (theta/2) - (-theta/2)

arg(z) = arg(tg(theta/2)) - (Pi/2) + theta

Si theta/2 < 0 (soit theta dans ]-Pi ; 0[), arg(tg(theta/2)) = Pi. et donc:
arg(z) = (Pi/2) + theta (modulo 2Pi)

Si theta/2 > 0 (soit theta dans ]0 ; Pi/2[), arg(tg(theta/2)) = 0. et donc:
arg(z) = -(Pi/2) + theta (modulo 2Pi)

Si theta = 0, |Z| = 0 et arg(Z) est donc indéterminé.
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