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complexes
Bonjour, pouvez vous m'aider pour cet exo, c'est la première fois que j'ai ce type d'exo et je ne sais pas comment faire...
On se propose de résoudre l'équation : P(z) = z3 + pz + q = 0 où z est l'inconnue et p et q des nombres complexes.
Nous travaillerons dans le corps des complexes.
1) a) Soit j le nombre complexe j = e2ipi/3 , placerj sur le cercle trigonométrique.
pour cette question pas de problème
b) Soit f la fonction de C3 dans C définie par : f(x,y,z) = (x + jy + j²z)^3 . Montrer que pour tout triplet (x.y.z) de C3 : f(x,y,z) = f(y,z,x) = f(z,x,y) puis que : f(x, z, y) = f (z, y, x) = f(y, x, z)
là je ne sais pas comment faire mais je sais que 1+j+j²=0
2) Soit Q le polynôme à coefficients complexes suivant : Q = X^3 + aX² +bX + c ; on note
,
,
ses racines complexes et on pose ++=
1; 2=*+*+*
et 3=**
a)montrer que Q=X^3-1X²+2X-3c'est à dire que a=-1; b=2 et c=-3
je suis bloquée et à partir de là je ne sais pas comment faire les questions qui suivent.
b) Montrer que: ²+²+²=1²-22 puis que (je simplifie les notations a=alpha b=beta gamma=c et sigma =t ) a²b+a²c+b²a+b²c+c²a+c²b=t1t2-3t3 et a^3+b^3+c^3=t1^3-3t1t2+3t3
3) Soit P le polynôme à coefficients complexes P = X^3 + pX + q , on note ,, ses racines complexes. On pose A = f(,,) et B = f(,,)
a) A l'aide de la question précédente, montrer que :
A+B=-27q
AB=-27p^3
En déduire que A et B sont solutions d'une équation du second degré que l'on précisera.
b) On suppose dorénavant que pet g sont des réels. On pose
= 4p^3 + 27q². Calculer A et B en fonction de
c) Soit 1 un nombre complexe solution de1²= et soit u et v deux nombres complexes tels que :
u^3=3
3*(-33q-1)/2 et v^3=33*(-33q+1)/2
Montrer que (,,) est solution du système :++=0
+j+j²=u
+j²+j=v
Résoudre ce système.
d) Application numérique : Résoudre sous forme trigonométrique l'équation : z^3-2z+3
merci
salut la 1b) il faut developper f(x,y,z) puis les autres et voir si ils sont egaux.
2) Q(X)=(X-alpha)*(X-beta)*(X-gamma)
on developpe et ceci est egal a X^3 + aX² +bX + c.
reste a identifier...
Salut,
1.b
une alternative au developpement et a la force brutale:
j^3 = 1 (ben oui)
et donc f(x,y,z) = 1.(x + jy + j²z)^3
f(x,y,z) = j^3.(x + jy + j²z)^3
f(x,y,z) = (j.x + j.jy + j.j²z)^3 (en mettant le j sous la parenthese)
f(x,y,z) = (z + jx + j²y)^3
la meme chose avec (j^2)^3 = 1 donne la deuxieme
A+
biondo
ok pour 1)b) par contre pour 2 a je suis toujours bloquée, ensuite j'ai réussi à faire 2)b). Par contre après je bloque pour toute la question 3.
Encore merci
pour la 2a)
comme Q est unitaire et qu'on connait ses 3 racines complexes alpha beta et gamma on peut dire que /
Q(X)=(X-alpha)*(X-beta)*(X-gamma)
la il faut developper je sais c'est horrible mais il faut passer par la.
on arrive a Q(x)=X^3-[alpha+beta+gamma]*X^2+...*X + alpha*beta*gamma.
or Q(x)=X^3 + aX² +bX + c
donc X^3 + aX² +bX + c=X^3-[alpha+beta+gamma]*X^2+...*X + alpha*beta*gamma.
deux polynomes egaux de meme degre c'est donc leur coefficients respectifs qui sont egaux.
pour X^3 : 1=1 (tres interessant...)
pour X^2 : alpha+beta+gamma = -a donc a=sigma1
....
merci beaucoup, j'ai compris, je bloque maintenant sur toute la partie 3 mais là ca me semble plus dur..
je suis bloquée pour la question 3) a) b) c) d) pouvez vous m'aider?
encore merci
quelqu'un pourrait il m'aider car je suis bloquée sur cet exo j'arrive plus à avancer.
merci
pour le debut de 2a) j'ai la flemme mais je pense qu'il faut faire des calculs bien lourds.
le mieux serait deja d'adapter la question 2 au polynome P. (a=0 et sigma1=0...)
la question 1 n'est peut etre pas la pour rien non plus...
pour la suite :
A et B sont solutions de X^2+27q-27p^3
b) le delta de cette equation est 27*(27q^2+4p^3) =27*delta.
suivant le signe de delta on pourra exprimer A et B en fonction de delta.
c) a partir de 3a et 3b la verification doit pouvoir se faire.
resoudre le systeme. bon bah pivot de Gauss ou formule de Cardan.
pour l'application je te laisse faire...
bon je vais essayer si je bloque je ferai de nouveau appel à vous! merci
alors tout va bien pour la question 1)2)a)b) mais pour la 3 c'est la catastrophe, malgré vos explications je ne m'en sors pas. 3)a)pour le système j'arrive pas à montrer que A+B=-27q et AB=-27p^3 comme faire, je n'exige pas tous les calculs mais une méthode, un début qui me lance sur la bonne voie.
ensuite pour b) j'ai essayé de trouvé A et B en fonction de delta mais à la fin mon truc est faux, je n'ai pas de méthode de calcul et ca part dans tous les sens.
ensuite pour c)comment montrer que alpha beta gamma est solution du système. Ensuite je l'ai résolu ca me donne des alpha, beta gamma invraisemblable alors je sais pas si je me suis trompée mais bon...
d) je vois pas avec ce qui précède comme résoudre cette équation...
Encore merci pour tout
quelqu'un peut il m'aider pour la question 3??? encore merci
je suis toujours bloquée pour la question 3, si quelqu'un pouvait me filer un petit coup de pouce. Encore merci
une petite aide ou un petit coup de pouce pour la question 3 me serait bien utile car je suis complètement bloquée.
je n'ai toujours pas trouvé de réponse à la question 3 pouvez vous m'aider?
Salut!
Une seule solution: la face nord. transpiration assuree.
Il faut developper f(alpha,beta,gamma) explicitement.
On fait A+B. Apparait, assez facilement, la somme des cubes, et le produit des alpha, beta et gamma.
On les isole gentiment en debut d'expression.
Ensuite on fait apparaitre des termes du style alpha^2.beta, et en regroupant les coefficients de ces trucs, on trouve j+j^2, soit encore -1.
reste a exprimer tout ca grace aux expressions du 2.b
Courage
biondo
je trouve en développant tout 2(a3+b3+c3)+3j(sigma1sigma2-3sigma3)+3j^2(sigma1sigma2-3sigma3) ceci pour A+B mais comment montrer que c'est-27q
je n'arrive pas non plus pour AB=-27p^3
ensuite je n'arrive pas à avoir A et B en fonction de delta.
puis après je bloque pour la c et la d.
encore merci
Bon: tu as sigma1sigma2-3sigma3 qui apparait deux fois. Je le factorise, et je trouve du
(sigma1sigma2-3sigma3)(j+j^2).
Or j+j^2 = -1 (tu l'as dit toi-meme tout au debut dans ton premier post...)
Bien. Il reste:
2(a3+b3+c3)-3(sigma1sigma2-3sigma3)
Que vaut a3+b3+c3 en fonction de sigma1 etc? (question 2b).
Que vaut sigma1 etc en fonction de p et q? question 2a)
Je remplace...
Il doti te manquer du abc dans ton truc quand tu developpes...(une bonne douzaine ferait l'affaire).
biondo
ok je vais voir si j'y arrive, mais après je bloque toujours pour 3b) 3)c 3) d pouvez vous me mettre sur la voie.
encore merci
alors pour A+B je trouve 2sig1^3-9sig1sig2+27sig3 après donc j'ai sig1=1 p=-9sig2 et q=27sig3 mais comment trouver -27q???
pour AB c'est super chaud, j'ai a^6+b^6+c^6 mais comment trouver -27 p^3??
ensuite pour b)c)d) comment je dois faire?
encore merci
Il faut y aller calmement:
sigma1 = 0 chez moi... (c'est le coeff du monome de second degre, au signe pres...)
et sigma3 = -q (c'est le dernier coeff...)
Donc???
Pour AB, je n'ai pas regardé (ce soir peut-être, si j'ai le temps). Une piste éventuelle (sans garantie): j'éviterais de développer complètement le produit AB, justement parce que les a^6+b^6 etc m'embêtent. Par contre dans le terme A on peut peut-être faire apparaitre des choses intéressantes en utilisant les questions précedentes et en disant que
A = 1/3.(f(a,b,c)+f(b,c,a)+f(c,a,b))
Ca fait peut-être apparaître une expression plus "symétrique" en a, b, c, des regroupements de termes, qui donneront des expressions connues en fonction de sigma1 etc...
Développe aussi à part l'expression de (sigma2)^3 en fonction de a b et c, des fois que tu la reconnaisses dans tes développements du produit AB...
Tu as trouvé l'équation du second degré dont A et B sont solution?
la question b) concerne la résoltuion de cette équation, en fait. delta est à un coefficient près le discriminant de l'équation, reste plus qu'à exprimer les sols en fonction de delta...
biondo
bonjour,
alors pour sig1=0 et sig3=-q je ne vois toujours pas pourquoi ensuite on devrait trouver A+B=-27q?
Ensuite pour AB j'ai essayé ta méthode mais je dois faire des erreurs car chez moi ca marche pas.
Pour l'équation du second degré c'est
A et B sont solutions de X^2+27q-27p^3
mais après je suis bloquée.
Pouvez vous m'aider?
Encore merci
Muuuh?
Je reprends ton expression a toi, de ton post 11/09/2005 à 18:46:
" pour A+B je trouve 2sig1^3-9sig1sig2+27sig3"
Avec sig1=0, il reste 27sig3, et sig3 = -q...
Je reposte un peu plus tard sur le reste. Faut que je fasse des calculs aussi...
biondo
ok d'accord pour ça mais pour le reste je suis toujours bloquée.
Encore merci de bien vouloir m'aider.
Boh j'arrive a rien non plus pour AB...
Pour le reste:
Equation du second degre X^2 + 27q.X - 27p^3 = 0
Discriminant = (27q)^2 + 4.27p^3 = 27.(27.q^2+4.p^3) = 27.delta
Les solutions (A et B en fait) sont alors... (cas suivant le signe de delta).
ca doit rouler apres.
biondo
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