lire pour 2)d : x₀=eⁱ

1) puisque u=x+1/x, à chacune des deux valeurs de u va correspondre une équation du second degré en x ( x^2-ux+1=0) ayant chacune deux racines...

2b) si x0 est une racine non réelle de module non unitaire, x0 est différent de son conjugué x'0 de son inverse 1/x0 et de l'inverse de son conjugué 1/x'0 (qui est l'inverse d'une racine, donc également racine) D'où les 4 racines...

2c) si x0=2+i, x0^2=3+4i, x0^3=2+11i, x0^4=-7+24i donc
x0^4+2ax0^3+bx0^2+2ax0+1=(-6+24i)+2a(4+12i)+b(3+4i)=-6+8a+3b+(24+24a+4b)i
x0 sera solution si 8a+3b=6 et 24a+4b=-24 (soit 6a+b=-6) soit a=-12/5 et b=42/5
(calcul à vérifier...)
les autres solutions sont alors x'0=2-i, 1/x0=2/5-i/5 et 1/x'0=2/5+i/5; on a donc 2 paires de racines complexes conjuguées dont il suffit de calculer la somme et le produit pour reconstituer le trinôme dont elles sont solution (4 et 5 pour x0 et x'0, 4/5 et 1/5 pour leurs inverses) donc f(x)=(x^2-4x+5)(x^2-4x/5+1/5)

2d) je note x0=re^it, les autres solutions sont alors x'0=re^-it, 1/x0=e^it/r et 1/x'0=e^-it/r; x0 et x'0 ont 2rcost comme somme et r^2 comme produit; de même 1/x0 et 1/x'0 ont 2cost/r comme somme et 1/r^2 comme produit ; donc
f(x)=(x^2-2xrcost+r^2)(x^2-2xcost/r+1/r^2) d'où
a=-(r+1/r)cost et b=r^2+4(cost)^2+1/r^2

Ok, je comprends mieux maintenant...
Mais j'ai encore quelques petits soucis :

Tout d'abord, pour mes solutions pour au 1), il faut lire strictement inférieur et strictement supérieur à 0. J'ai aussi des solutions pour =0 c'est à dire que je trouve u=-a. Cela me pose problème car dans l'énoncé on me dit de montrer que (1) a 4 solutions. Avec cette dernière, ça m'en fait 5... Est-elle possible?

Ensuite, j'ai dit que j'avais montré pour la 2)a que si (1) admet une solution complexe non réelle x₀ alors elle admet aussi pour solution 1/x₀. Or, je me suis rendu compte que je n'avais rien prouvé... Comment faire?

Enfin, la fin de l'exo est la suivante :

3)a:     Montrer que le produit des 4 racines de (1) est égal à 1 (ça, j'ai fait)
En déduire que si (1) admet une solution complexe de module 1, (1) admet 3 autres solutions complexes non réelles de modules (1) ou bien 1 autre solution complexe non réelle de module 1 et deux solutions réelles inverses l'une de l'autre. On dira alors que (1) est respectivement du type II ou du type III.

Alors déjà, il faut décripter le texte...

3)b:     Montrer que (1) peut avoir 4 solutions réelle. On dira alors que (1) est du type IV.

Mais n'a-t-on pas prouvé à la premmière question que (1) peut avoir 4 solutions réelles?

3)c:     Soit l'équation x⁴+x²+1=0.
Vérifier que -1/2 +i(3)/2 est solution. En déduire les 3 autres solutions.

J'ai pu le faire en remplaçant dans l'expression ce qui donne d'assez longs calculs. Y a t-il un moyen plus rapide? Les 3 autres solutions seraient alors -1/2-i(3)/2 ; 1/(-1/2+i(3)/2)  et  1/(-1/2-i(3)/2) . Je me trompe?


4) Représenter dans le plan euclidien les images des solutions de (1) pour chacun des types I,II,III ou IV (on fera 4 schémas distincts)

Alors là, je n'ai vraiment rien compris... Comment représenter ces machins? Et d'ailleurs qu'est ce que ces "types" représentent???

Je remonte le sujet, si quelqu'un a une idée...

Pour les petits soucis, je crois que tu mélanges les solutions en u et les solutions en x:
delta est soit négatif, soit positif soit nul, et il n'y a dans chaque cas 2 solutions en u, confondues si delta est nul. Ces deux solutions engendrent chacune deux solutions en x (l'équation du second degré), ce qui fait bien 4 solutions en x. Pour les obtenir, on résout x+1/x=u, et il est évident sous cette forme que si x0 est solution 1/x0 l'est également puisque 1/(1/x0)=x0
3a) si une racine est complexe non réelle de module 1, son conjugué est aussi son inverse, le procédé utilisé plus haut ne donne que 2 valeurs distinctes de produit égal à 1.  Comme le produit des 4 racines est égal à 1, le produit des deux autres est aussi égal à 1. Soit x1 une de ces racines, alors son conjugué, son inverse et l'inverse du conjugué sont aussi racines; si x1 n'est ni réel ni complexe de module 1, on engendre ainsi trois autres valeurs, différentes de x0 et 1/x0, donc deux de trop: c'est donc impossible. Si x1 est complexe de module 1 son inverse et conjugué aussi, et on est dans le type II . Sinon x1 et1/x1 sont réels de produit égal à 1 (type III)
3b) en effet si dans le 1) delta est positif et si u^2>4 on aura 4 racines réelles
3c) pour les inverses, il faut faire remonter lesradicaux et les imaginaires au numérateur en multipliant par le conjugué:
1/(-1/2+irac(3)/2)=2(-1-irac(3))/4=-1/2-irac(3)/2 et -1/2+irac(3)/2 pour l'autre
4) dans le plan euclidien complexe où l'on tracera le cercle unité, les solutions peuvent se représenter par 4 points
* pour le type I, on a un point M (x0) qui n'est ni sur l'axe réel, ni sur le cercle unité, un point M' (1/x0) d'argument opposé et de module l'inverse, et leurs conjugués qui sont les symétriques par rapport à l'axe réel.
* pour le type II, on obtient 4 points du cercle unité, deux à deux symétriques par rapport à l'axe réel
* pour le type III, on a deux points du cercle unité symétriques par rapport à l'axe réel, et deux réels inverse l'un de l'autre (par exemple 2 et 1/2)
* pour le type IV, 4 réels, 2 à 2 inverses
Compris?

En fait, non je fais bien la différence entre les u et les x (enfin je crois!): d'après (2) on obtient 2 racines u pour delta strictement supérieur à 0, 2 autres pour delta strictement inférieur à 0, et une autre pour =0. On remplace dans x²-ux+1=0  (en calculant un deuxième ) ce qui nous donne 4 valeurs pour le premier strictement sup à 0 (donc 4 racines réelles), 4 autres racines complexes pour strictement inférieur à 0. Mais alors là que faire du =0?

Le reste c'est compris! (sauf pour le IV mais je pense que je verrai mieux une fois le dessin fait!)

En tout cas merci beaucoup pour ton aide!

Si delta est nul, il y a une racine double en u qui donne deux racines doubles en x...
Attention si delta est positif on a 2 racines réelles en u, mais ce n'est que si u^2>4 que l'on aura des racines réelles en x, sinon elles sont complexes!