Inscription / Connexion Nouveau Sujet
complexes
Hello
Je n'arrive pas à résoudre cet exercice pouvez vous m'aider?
Dans le plan P rapporté à un repère orthonormal direct (O,
,
), on considere 1 le point M d'affixe z et le point N d'affixe
f(z)= [(3+4i)/6]z+(5/6)z"barre", ou z"barre" est le conjugué de z
Le but de l'exercice est de construire géométriquement N à partir de M.
1) déterminer l'ensemble D des points M tels que f(z)=z
2) a) exprimer à l'aide de z"barre" et z le nombre complexe
(f(z)-z)/(1+2i) ; en déduire que ce nombre est réel.
b) en déduire que N appartient à la droite 
m passant par M et de vecteur directeur +2.
3) a) Montrer que f[f(z)] = f(z) pour tout nombre complexe z.
b) Montrer que N est le point d'intersection des deux droites D et m.
caractériser géométriquement le transformation du plan P qui associe N à M.
Merci beaucoup.
1)
z = x+iy
f(z)= [(3+4i)/6]z+(5/6)z(barre)
f(z) = [(3+4i)/6](x+iy)+(5/6).(x-iy)
f(z) = (1/6).[(3+4i).(x+iy)+5.(x-iy)]
f(z) = (1/6).(3x + 3iy + 4ix -4y +5x-5iy)
f(z) = (1/6).(8x-4y + i(4x-2y))
f(z) = z -->
(1/6).(8x-4y + i(4x-2y)) = x + iy
(1/3).(4x-2y + i(2x-y)) = x + iy
D'où le système:
(1/3).(4x-2y) = x
(1/3).(2x-y) = y
4x-2y = 3x
2x-y = 3y
x = -2y
2x = 4y
Les 2 équations sont équivalentes à y = x/2
D est l'ensemble des points de la droite d'équation y = x/2
---
2)
a)
(f(z)-z)/(1+2i)
= [((3+4i)/6).z+(5/6)z(barre) - z)/(1+2i)
= (1/6).((3+4i)z + 5.z(barre) - 6z)/(1+2i)
= (1/6).((-3+4i)z + 5.z(barre))/(1+2i)
= (1/6).((-3+4i)(x+iy) + 5.(x-iy))/(1+2i)
= (1/6).(-3x-3iy+4ix-4y + 5x-5iy)/(1+2i)
= (1/6).(2x-4y+i(4x -8y))/(1+2i)
= (1/6).(2(x-2y)+4i(x -2y)]/(1+2i)
= (1/6).((x -2y)(2+4i))/(1+2i)
= (1/3).(x -2y)(1+2i)/(1+2i)
= (1/3).(x -2y)
---
b)
f(z)-z)/(1+2i) est réel.
f(z) étant l'affixe de N et z l'affixe de M, on en conclut que N appartient à la droite Delta m passant par M et de vecteur directeur u+2v.
---
3)
Pas le courage de continuer.
-----
Calculs à vérifier. 
Bonjour!!!
pour le 3) a) je trouve f(f(z))=f[1/"(4x-2y+i(2x-y)]
=[(3+4i)/6][1/3(4x-2y+i(2x-y)]+(5/6)(1/3[4x-2y-i(2x-y)])
=(24x-12y+12ix-6iy)/18
=(1/3)(4x-2y+i(2x-y))
=f(z)
pour le 3)b)
On a déjà prouvé que N appartient à m et je n'arrive pas à prouver que N appartient àla droite D d'équation
y=(x/2)
Merci
Annuler
connectez vous