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complexes !!
bonjour à tous. Je bloque sur cet exo, je n'arrive à rien quelqu'un peut m'aider
merci
On considère les nombres complexes Zn tels que Z0=1 et pour n>ou = à 0,
Z(n+1) =1/3Zn +2/3i [(n+1)n'est pas exposant mais il est en dessous]
1°) pour tout n € N on pose Un =Zn-i
a) Calculer Un+1 en fonction de Un
b) Montrer par récurrence que pour n€N un = (1-i)(1/3)^n
2) °a)exprimer en fonction de n la partie réelle Xn et la partie imaginaire Yn de Un
b) Calculer les limites de (Xn) et (Yn)
on note An le point d'affixe Un et Bn le point d'affixe Zn
c)Calculer le module et un argument de Un. Montrer que les points An sont alignés
d)Montrer que les points Bn sont alignés
merci d'avance
Z(n+1) = (1/3).Z(n) + (2/3)i
U(n) = Z(n) - i
U(n+1) = Z(n+1) - i
U(n+1) = (1/3).Z(n) + (2/3)i - i
U(n+1) = (1/3).Z(n) - (1/3)i
U(n+1) = (1/3).(Z(n) - i)
U(n+1) = (1/3).U(n)
Et donc Un est une suite géométrique de raison 1/3 et de premier terme U(0) = Z(0)-i = 1 - i
--> U(n) = (1-i).(1/3)^n
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U(n) = (1/3)^n - i.(1/3)^n
X(n) = (1/3)^n
Y(n) = -(1/3)^n
lim(n-> oo) X(n) = lim(n-> oo) (1/3)^(n) = 0
lim(n-> oo) XYn) = lim(n-> oo) -(1/3)^(n) = 0
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U(n) = (1-i).(1/3)^n
U(n) = V2.(1/3)^n.((1/V2) - i.(1/V2)) (Avec V pour racine carrée).
U(n) = V2.(1/3)^n.(cos(3Pi/4) +i.sin(3Pi/4))
|U(n)| = V2.(1/3)^n
arg(U(n)) = 3Pi/4
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arg(U(n)) = 3Pi/4 quel que soit n et donc tous les An sont alignés.
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Z(n) = U(n) + i
On obtient un point B(n) en décalant, dans le plan complexe, le point A(n) d'une unité dans le sens des ordonnées positives.
---> Comme les A(n) sont alignés, les B(n) le sont aussi.
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Sauf distraction. 
Un grand merci
j'ai une question pourquoi lim ... quand n tend vers 00 pk 00 ??
merci
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