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~complexes~
bonjour, g un petit probleme sur un exo sur les complexes...
Ds l'ensemble C des complexes; i designe le nombre de module 1
et d'argument pi/2
soit A le pt d'affixe zA=-i et B le pt d'affixe zB=-2i
on appelle f l'application qui, à tout pt M g'afixe z(M distinct
de A), associe le pt M' d'affixe z' défini par z'=(iz-2)/(z+i)
1/ demontrer que, si z un imaginaire pur, z different de -i, alors z'
est imaginaire pur.
2/ determiner les pts invariants par l'application f.
3/ calculer |z'-i|*| z+i|
montrer que, quand le pt M decrit le cercle de centre A et de rayon 2, le
pt M' reste sur un cercle dont on determinera le centre et le
rayon.
4/ developer (z+i)² puis factoriser z²+2iz-2
voila, g a peu pres reussi le debut, ms je ne suis pas sur, dc si quelqu'un
pouvait me donner un coup de main ca serait sympa, merci d'avance...
1/ si z un imaginaire pur, z different de -i, alors z = iy avec y
un réel différent de -1
Donc :
z'=(iz-2)/(z+i) [tu remplaces z par iy et tu trouves :]
= i (y+2)/(y+1)
y étant un réel différent de -1, z' est imaginaire pur.
2/ Pour déterminer les points invariants par l'application f, tu
résous l'équation :
z = (iz-2)/(z+i)
Sauf erreur de ma part, tu devrais trouver
z = -
2 ou z = 2
3/ calculer |z'-i|
| z+i| :
tu remplaces z' par la formule que tu as et tout se simplifie,
tu devrais trouver :
|z'-i|| z+i| = 1
Le point M décrit le cercle de centre A et de rayon 2 se traduit par
:
|z - (-i)| = 2 ou encore |z + i| = 2,
alors :
|z'-i|| z+i| = 1
équivaut à :
|z'-i|2 = 1, soit :
|z'-i| = 1/2
Le point M' parcourt le cercle de centre le point d'affixe
i et de rayon 1/2.
4/ Je te laisse déveloper (z+i)²
z²+2iz-2 = z² + 2iz +1 - 3 = (z+i)² - 3 ......
Je te laisse finir la factorisation et vérifier les calculs.
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