Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Autre TrigonométrieTopics traitant de trigonométrie [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau autre
Partager :

complexes

Posté par
flashy 11-02-06 à 13:45

bonjours,

Enfaite j'ai un exo sur les complexes que je n'arrive pas à résoudre! Est ce que vous pouvez m'aidez SVP? Voilà l'exo:
  
On considère la somme Sn= 1 + e^(i)+e^(2i)+e^(3i)...+e^(ni) avec [0;2[

1)Donner une formule plus "compacte" de cette somme(attention à une valeur particulière de )
----> Moi je trouve Sn= [1- (e^(i))^(n+1)]/[1 - e^(i)] en utilisant la fomule : 1+q²+q^3+...+q^n = (1- q^(n+1))/(1-q)

2) en considérant successivement les parties réelle et imaginaire de Sn, donner une expression "compacte" des sommes:
1+ cos()+cos(2)+...+cos(n) et sin()+sin(2)+...+sin(n)
----> Sn= 1+ cos()+cos(2)+...+cos(n)+ i( sin()+sin(2)+...+sin(n))
Sn=1+ (cos+isin)+(cos+isin)²+(cos+isin)^2+...+(cos+isin)^n
[car (cos+isin)^n=cos(n)+isin(n)]
Voilà l'idée que j'ai eu mais ca n'aboutit à rien et ne me permet pas de calculer les sommes demandées
??????????

3) résoudre l'équation: 1+cos(x)+cos(2x)+cos(3x)+cos(4x)=0 sur [0;2[  
----> Si vous m'aider pour la question 2 peut etre que j'arriverai à faire cette question toute seule
4) résoudre: sin(3x)+sin(4x)+sin(5x)+sin(6x)=0 sur [0;2[
---->idem que la 3

Posté par
stokastikre : complexes 11-02-06 à 14:10


Détermine la partie réelle et la partie imaginaire de ta formule "compacte" de Sn

Posté par
flashyre : complexes 11-02-06 à 14:39

oui j'avais pensé à ça et j'ai essayé plusieurs trucs mais je n'y arrive pas

Posté par
stokastikre : complexes 11-02-06 à 17:13

S_n=\frac{1-e^{i(n+1)\theta}}{1-e^{i\theta}}

C'est un quotient de nombres complexes. Pour l'écrire sous forme algébrique (partie réelle + i partie imaginaire), tu commences par muultiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur. T'as du voir ça en classe.

Posté par
kaiser Moderateurre : complexes 11-02-06 à 17:19

Bonjour stokastik

Ne serait-il pas mieux de factoriser pour faire apparaître un quotient de deux sinus, le tout mutiplié par une exponentielle ?

Kaiser

Posté par
stokastikre : complexes 11-02-06 à 17:26


Oui il y a sans doute mieux. Je proposais la méthode "brutale". J'ai le cerveau ramolli en cette période, je ne suis pas dans la finesse.

Posté par
kaiser Moderateurre : complexes 11-02-06 à 17:29

Posté par
flashyre : complexes 11-02-06 à 19:53

Bonsoir ,

Excuses moi Kaiser mais je n'ai pas très bien compris ta méthode!Je ne vois pas comment on pourrais faire apparaître un quotient de 2 sinus à partir de la l'expression réduite de Sn

Sinon j'ai utilisé la méthode "brutale" de stokastik et c'est vrai qu'elle est un peu longue et un peu "chiante" aussi(excusez moi du terme)parcequ'il faut faire beaucoup de développements aux quels on risque d'ailleur de faire plusieurs erreurs si on ne fait pas très attention! Et si je ne me suis pas trompée, je trouve: Re(Sn)=[ cos(n-2)-cos(n+)-cos()+1]/[2-2cos()]
et img(Sn)= - [(sin(n-2)-sin(n+)-sin()]/[2-2cos()]

Ps: si vous avez un peu de temps, est-ce que vous pourriez m'expliquer la méthode avec la factorisation SVP??

Posté par
kaiser Moderateurre : complexes 11-02-06 à 20:03

D'abord, on a :
\large{1+e^{i(n+1)\theta}=e^{\frac{i(n+1)\theta}{2}}\(e^{\frac{-i(n+1)\theta}{2}}-e^{\frac{i(n+1)\theta}{2}}\)=e^{\frac{i(n+1)\theta}{2}}\(-2isin\(\frac{(n+1)\theta}{2}\)\)}.
Ensuite, on a \large{1+e^{i\theta}=e^{i\frac{\theta}{2}}\(e^{-i\frac{\theta}{2}}-e^{i\frac{\theta}{2}}\)=e^{i\frac{\theta}{2}}\(2isin\(\frac{\theta}{2}\)\)}.

En faisant le quotient des deux et en simplifiant un peu l'expression obtenue, on trouve le résultat voulu.

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : complexes 11-02-06 à 20:03

Désolé, j'ai oublié un signe "moins" dans la deuxième expression.

Posté par
flashyre : complexes 11-02-06 à 20:53

merci beaucoup pour les explications kaiser mais il n'y aurait pas une plutôt 2 petites erreurs: c'est pas plutôt 1- e^(i(n+1))au lieu de 1+ e^(i(n+1)) et pareil pour 1 + e^(i)??

Posté par
stokastikre : complexes 11-02-06 à 20:57

oui c'est "moins"

Posté par
flashyre : complexes 12-02-06 à 22:30

Merci.
En fait en utilisant cette nouvelle formule  je suis parvenue à trouver:
  sin(3x).sin(7x/2) - sinx.sin(3x/2) = 0 avec x0
sin(3x).sin(7x/2) = sinx.sin(3x/2)
Enfaite à partir de ça j'ai posé 2 systèmes:
(1)--> 3x = x+k2 et 7x/2 = 3x/2 + k2
(2)--> 3x = 3x/2+k2 et 7x/2=x+k2

Mais je crois que je n'ai pas trouvé toutes les soltions! Peut-être que quelqu'un connaît un meilleur moyen?

PS:Le système (2) me donne 2 valeurs differentes de x!Et en fait l'équation n'est vraie que pour une valeur de x. Alors comment faire dans ce cas là??

Posté par
kaiser Moderateurre : complexes 12-02-06 à 23:06

Re Bonsoir flashy

Quelle question es-tu en train de résoudre ?

Kaiser

Posté par
flashyre : complexes 13-02-06 à 12:23

ah oui pardon c'est la 4

Posté par
flashyre : complexes 13-02-06 à 22:28

SVP est-ce que quelqu'un peut me dire comment résoudre:
sin(3x).sin(7x/2) - sin(x).sin(3x/2) = 0 avec x0 ????

Posté par
kaiser Moderateurre : complexes 13-02-06 à 22:56

Bonsoir flashy

Comment aboutis-tu à cette équation ?

Kaiser

Posté par
flashyre : complexes 14-02-06 à 12:59

Bonjour kaiser,

Grace aux écritures simplifiées que tu m'avais donné pour trouver la partie réelle et imaginaire de Sn j'ai trouvé, en simplifiant en haut et en bas par -2i et ei/2    (car  au numérateur ei(n+1)/2= ei/2 x ein/2):   Sn = [(ein/2) x sin((n+1)/2)] / [ sin(/2)]

En mettent (ein/2) sous la forme (cos(n/2)+ isin(n/2) et en développant le numérateur j'ai obtenu:

Re(Sn) = [cos(n/2) x sin((n+1)/2)] / [sin(/2)]   et   Img(Sn)= [sin(n/2) x sin((n+1)/2)] / [sin(/2)]

Et donc en appliquant la formule de Img(Sn)(pour la question 4)
à:
---sin(x)+sin(2x) = [sin(x).sin(3x/2)] / [sin(/2)]
---sin(x)+sin(2x)+sin(3x)+sin(4x)+sin(5x)+sin(6x)=[sin(3x).sin(7x/2)] / [sin(/2)]
D'où:
sin(3x)+sin(4x)+sin(5x)+sin(6x)= 0 sin(x)+sin(2x)+sin(3x)+sin(4x)+sin(5x)+sin(6x)- [sin(x)+sin(2x)]=0
  [sin(3x).sin(7x/2) - sin(x).sin(3x/2)] / [sin(/2)] = 0   sin(3x).sin(7x/2) - sin(x).sin(3x/2)= 0 avec x0


Voilà j'espère que je n'ai pas fait d'erreur!


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1760 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !