Bonjour, voici mon sujet:

1. Soit l'équation (E) : z²=3+4i
En posant z=x+yi, avec x et y appartenant à R, démonter que:
z est solution de (E)
<=>x²-y²=3          <=>x⁴-3x²-4=0
         2xy=4                       y=2/x
*ici, je note qu'il y a des accolades (ne sachant pas comment les afficher)

2. Résoudre la première équation du dernier système en posant X=x² puis déterminer les solutions de l'équation (E).

3. Démontrer que si z=x+yi, avec x et y appartenant à R, est solution de l'équation (E), alors z²z²=25(le deuxième z² possède un trait, c'est son conjugué, mais je ne sais pas comment l'afficher)
En déduire que x²+y²=5
Avec cette troisième équation, reprendre la première question et résolution plus simple de l'équation (E) grâce au système
x²-y²=3
xy=2
x²+y²=5
*ici, je note qu'il y a une accolade (ne sachant pas comment les afficher)

4. On note alpha la solution de (E) de partie réelle positive.
a. Démontrer que alpha est solution de l'équation z²-(1+3i)z-4+3i=0
b. Déterminer le nombre complexe beta tel que
z²-(1+3i)z-4+3i=(z-alpha)(z-beta)
c. En déduire les solutions de l'équation z²-(1+3i)z-4+3i=0

Voici mes réponses (pas entièrement rédigées, mais mes calculs sont là):

1.
z²=3+4i
<=>(x+yi)²=3+4i
<=>x²+2*x*yi+(yi)²=3+4i
<=>x²+2xyi+y²*(-1)=3+4i
<=>x²+2xyi-y²=3+4i
<=>x²-y²+2xyi=3+4i
*Je note qu'à partir de maintenant, il y a des accolades
<=>x²-y²=3 =Re(3+4i)
         2xy=4 =Im(3+4i)

<=>x²-y²=3
         2xy=4

<=>x²-y²=3
        xy=2

<=>x⁴-3x²-4=0
         y=2/x

2.
X=x²
x⁴-3x²-4=0
devient X²-3X-4=0
delta=b²-4ac=25

X₁= (-b-racine de delta)/2a=-1
X₂=(-b+racine de delta)/2a=4

Donc x₁= -1 ou 1 et x₂= -2 ou 2 (Ici, j'ai fait la racine carrée)

Pour y on a donc:
y=2/x
y₁=2/-2=-1 et y₂=2/2=1

3.
ici, j'ai remplacé les z par x+yi, ce qui m'as effectivement donné 25, mais pour en déduire que  x²+y²=5, il faut juste remplacer par les solutions trouvées précédemment?
Et pour la résolution plus "simple", je ne sais pas du tout comment faire

4.a. ici, j'ai remplacé alpha par 2+i (en rapport avec les solutions trouvées), je l'ai donc remplacé par z, ce qui m'as donné 0.
Pour les deux dernière, je suis complètement bloquée.

Voilà, je vous remercie d'avance pour votre aide !