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Complexes

Posté par
Caprice 02-12-22 à 23:12

Bonsoir j'ai un exercise dont je n'arrive pas vraiment à trouver la solution!
L'énnoncé se présente comme suit

ENNONCÉ:
Comment faut-il choisir le nombre complexe Z pour que
1)Z= zcarré +2z-3 soit un réel?
  2)  Z=2z-4/z-i  Soit un réel?

Posté par
LeHiboure : Complexes 03-12-22 à 00:45

Bonjour,

Citation :
Comment faut-il choisir le nombre complexe Z pour que

J'imagine qu'il faut plutôt choisir z et non pas Z...

La méthode consiste à poser z = a + ib, à calculer Z et à écrire que la partie imaginaire du résultat est nulle.
Cela donnera à priori  une relation entre a et b.
Fais les calculs, poste-les et on en reparle...

Posté par
carpediemre : Complexes 03-12-22 à 08:56

salut

non pas la mais une méthode consiste à ...

sinon on peut utiliser la propriété : un complexe Z est réel si et seulement si ....

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Complexes 03-12-22 à 09:32

Bonjour,
non pas la mais une propriété

Posté par
carpediemre : Complexes 03-12-22 à 09:48

pas d'accord : la propriété concernant la "réalité" d'un complexe est unique ou encore : il n'y a pas deux propriétés traduisant le fait qu'un complexe est réel

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Complexes 03-12-22 à 11:34

J'attendrai que le sujet soit abouti pour répondre

Posté par
Capricere : Complexes 03-12-22 à 16:29

Z= zcarré +2z-3 soit un réel<=>Imaginaire de z=0
Poisons z=a+ib
(a+ib)^2+2(a+ib)-3
a^2+2abi-b^2+2a+2ib-3
a^2-b^2+2a-3+i(2ab+2b)
Re(z)=a^2-b^2+2a

Posté par
alb12re : Complexes 03-12-22 à 16:54

salut,
"Z= zcarré +2z-3 soit un réel<=>Imaginaire de z=0"
à revoir

Posté par
co11re : Complexes 03-12-22 à 20:50

Bonsoir,
d'accord avec  alb 12 pour 1), sauf z au lieu de Z . Visiblement on est parti sur : Z est réel ssi Im (Z) = 0

Posté par
co11re : Complexes 03-12-22 à 20:52

2) même genre de méthode ou raisonnement avec argument ?
à suivre

Posté par
Capricere : Complexes 04-12-22 à 00:08

Je ne comprend pas dites  moi à quel niveau je me suis trompé

Posté par
carpediemre : Complexes 04-12-22 à 09:17

à 16h29 tu as posé z = a + ib et tu as écrit Z en fonction de a et b sous forme algébrique

ensuite tu veux que Z soit réel donc ...

(ton pb est que tu mélanges z et Z)

Posté par
Capricere : Complexes 04-12-22 à 12:15

Oui c'est vrai je ne sais pas comment faire!
Le grand Z et le petit z je ne sais plus quoi faire

Posté par
malou Webmasterre : Complexes 04-12-22 à 13:06

Caprice @ 03-12-2022 à 16:29

Z= zcarré +2z-3 soit un réel<=>Imaginaire de z=0
Posons z=a+ib
Z=(a+ib)^2+2(a+ib)-3
Z=a^2+2abi-b^2+2a+2ib-3
Z=a^2-b^2+2a-3+i(2ab+2b)
Re(Z)=a^2-b^2+2a


et que vaut la partie imaginaire de Z ?
et tu écris que cela doit être nul

Im(Z)= ....

Posté par
Capricere : Complexes 04-12-22 à 13:15

Imaginaire =0<=>2ab+2b
2b(a+1)=0
2b=0 ou a+1=0
b=0 ou a=-1

Posté par
carpediemre : Complexes 04-12-22 à 13:36

c'est bien maladroit : il faut être plus rigoureuse et apprendre à utiliser les notations du cours :

Re (Z) = 0 <=> 2ab + 2b = 0 <=> ...

et il faut conclure en français

Posté par
Capricere : Complexes 04-12-22 à 16:31

Là où vous avez écris Re(z)=0<=> c'est pas im(z)=0<=>??

Posté par
malou Webmasterre : Complexes 04-12-22 à 17:00

Oui tu as raison
C'est im(Z) =0 équivaut à...
Allez avance...

Posté par
co11re : Complexes 04-12-22 à 18:44

Bonsoir,
Caprice :

Citation :
Oui c'est vrai je ne sais pas comment faire!
Le grand Z et le petit z je ne sais plus quoi faire

Si tu mélanges Z et z c'est un problème.
Dans ce cas une suggestion avant de traiter l'exercice, essaie des valeurs particulières.
Par exemple : si z = 1 ou 2 ou i alors Z = ....,,  ça ne demande pas trop de calculs. Si ça ne suffit pas essaie d'autres valeurs  .....

Posté par
Capricere : Complexes 05-12-22 à 11:15

Que je remplaçe le z=2 et 1
Dans
Z= zcarré +2z-3???
Si oui pour z=2 => Z=(2)^2+2(2)-3=4+4-3=5
Z=1
Z=1=>Z=(1)^2+2(1)-3=1+2-3=0

Posté par
malou Webmasterre : Complexes 05-12-22 à 12:27

mais hier tu y étais presque sauf qu'on t'a dit que c'était maladroit
faut bien lire nos réponses

Caprice @ 04-12-2022 à 13:15

Imaginaire =0<=>2ab+2b
2b(a+1)=0
2b=0 ou a+1=0
b=0 ou a=-1

carpediem @ 04-12-2022 à 13:36

c'est bien maladroit : il faut être plus rigoureuse et apprendre à utiliser les notations du cours :

Im (Z) = 0 <=> 2ab + 2b = 0 <=> ...

et il faut conclure en français

en corrigeant en bleu ce que carpediem avait écrit





si tu ne sais pas conclure en Français, tu verrais peut-être mieux si au lieu d'avoir posé z=a+ib avec a et b réels, tu avais posé
z=x+iy avec x et y réels

et tu serais arrivé à
x=-1 ou y = 0

dans un repère ce sont des équations de ...

Posté par
Capricere : Complexes 05-12-22 à 19:40

X=-1  ou y=0
Comme le  y=0 et c'est la partie imaginaire alors z=x=-1

Posté par
malou Webmasterre : Complexes 05-12-22 à 20:01

la question était

Citation :
Comment faut-il choisir le nombre complexe z pour que
1)Z= zcarré +2z-3 soit un réel?


Z réel ssi z=-1+iy avec y dans R ou z réel (puisque tu as trouvé y=0)

OK ?

Posté par
Capricere : Complexes 05-12-22 à 20:19

Vu que le y=0 j'ai iy?
Je ne comprend pas trop

Posté par
malou Webmasterre : Complexes 05-12-22 à 20:35

Cela ne se passe pas nécessairement en même temps....
Tu as un ou entre les deux
x= -1 (et tu ne sais alors rien sur y à part le fait qu'il est réel) ou y=0 (et tu ne sais rien sur x à part le fait qu'il est réel )

Posté par
Capricere : Complexes 05-12-22 à 21:34

D'où la réponse;z est un réel si x=-1 ou y=0 c'est celà?

Posté par
malou Webmasterre : Complexes 05-12-22 à 21:37

J'ai donné la réponse à 20h01
Tu dois donner z et pas seulement x ou y
Et fais attention à z et Z , ne les confonds pas

Posté par
Capricere : Complexes 05-12-22 à 21:51

Ah d'accord j'ai vu la réponse à 20h01
Alors pour le b je procède ainsi,
Z=2z-4/z-i  Soit un réel?
Posons z=x+iy
Z=2(x+iy)-4/(x+iy)-i

Z=2x+2iy-4/(x+iy-i)

Posté par
malou Webmasterre : Complexes 09-12-22 à 08:55

Caprice @ 05-12-2022 à 21:51

Ah d'accord j'ai vu la réponse à 20h01
Alors pour le b je procède ainsi,
Z=(2z-4)/(z-i ) Soit un réel?
Posons z=x+iy
Z=(2(x+iy)-4)/((x+iy)-i)

Z=(2x+2iy-4)/(x+iy-i)


si tu veux...c'est le genre de calculs un peu pénibles, mais il faut savoir le faire en cas de besoin
Mais il faut savoir qu'il existe d'autres manières d'attaquer la question

tu devras trouver

Z = \dfrac{2(x²-2x+y²-y)}{x²+(y-1)²}+ \text{i}\,\dfrac{2(x+2y-2)}{x²+(y-1)²}

cela s'obtient en multipliant la fraction du départ par la quantité conjuguée du dénominateur haut et bas

Posté par
tetrasre : Complexes 20-03-23 à 10:27

bonjour malou j'essaie de faire ces calculs
pour obtenir le résultat de Z donné le 9.12 à 9.55 on peut partir de


\Large \frac{(2x+2iy-4)(x-iy+i)}{(x+iy-i)(x-iy+i)}

est ce correct au niveau de la quantité conjuguée?
merci

Posté par
malou Webmasterre : Complexes 20-03-23 à 10:51

Bonjour tetras

oui, c'est bien cela
au dénominateur, je te conseille de l'écrire
(x+i(y-1))(x-i(y-1))
écrit ainsi tu as le produit d'un complexe avec son conjugué, qui vaut le carré du module et tu trouves tout de suite le dénominateur que j'ai indiqué au dessus

Posté par
tetrasre : Complexes 21-03-23 à 10:53

merci j'ai trouvé ça.
Donc ça donne x+2y-2=0?
x=-2y+2
une infinité de solutions?

Posté par
lakere : Complexes 21-03-23 à 12:51

Bonjour,

Oui. Remarque que c'est l'équation d'une droite.
Celle qui passe par A d'affixe 2 et B d'affixe i
Le point B est à éliminer puisque z\not=i
Remarque aussi que l'équation de départ s'écrit :

   Z=\dfrac{2(z-z_A)}{z-z_B} ce qui peut donner des idées pour reprendre cet exercice plus "géométriquement".

Posté par
lakere : Complexes 21-03-23 à 12:59

J'en profite pour donner une solution alternative au 1):

z^2+2z-3\in\mathbb{R}\Longleftrightarrow z^2+2z+1\in\mathbb{R}\Longleftrightarrow (z+1)^2\in\mathbb{R}\Longleftrightarrow \{z\in\mathbb{R}\text{ ou }z+1\in i\mathbb{R}\}

Posté par
tetrasre : Complexes 24-03-23 à 10:19

Citation :
Oui. Remarque que c'est l'équation d'une droite.
Celle qui passe par A d'affixe 2 et B d'affixe i


cad?
si x=2 y=0
je ne comprends pas d'où sort B d'affixe i

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Complexes 24-03-23 à 10:56

Bonjour,
Je réponds en l'absence de lake.
i = x + iy \; avec x = ... et y = ... .

Posté par
Pirhore : Complexes 24-03-23 à 17:06

Bonjour,

1) on pouvait aussi écrire

Z réel \iff Z=\bar{Z}

z^2+2\,z-3=\bar{z^2+2\,z-3}

z^2+2\,z=\bar{z}^2+2\,\bar{z}

z^2-\bar{z}^2+2(z-\bar{z})=0

(z-\bar{z})(z+\bar{z}\,+\,2)=0

ce qui permet de conclure

Posté par
tetrasre : Complexes 25-03-23 à 09:45

et donc pour le 1 on doit retrouver les 2 solutions x=-1 ou y=0

z-z*=0 ou
z+z*+2=0
z=z* y=0

2)x+iy=x-iy-2
iy=-1
je ne retrouve pas la solution x=-1

Posté par
Pirhore : Complexes 25-03-23 à 09:50


(z-\bar{z})(z+\bar{z}\,+\,2)=0

2\,i\,y(2\,x+2)=0

Posté par
carpediemre : Complexes 25-03-23 à 12:28

pour compléter la réponse de Pirho et poursuivre avec les complexes :

d'après la règle du produit nul :

z - \bar z = 0 \iff z = \bar z \iff Im  z = 0 \iff z \in \R

ou

z + \bar z + 2 = 0 \iff z + \bar z = - 2 \iff 2 Re  z = -2 \iff Re  z = -1

Posté par
Pirhore : Complexes 25-03-23 à 12:52

Bonjourcarpediem

j'y avais pensé aussi mais je répondais uniquement à tetras qui ne "voyait" pas d'où venait le -1

Posté par
carpediemre : Complexes 25-03-23 à 13:02

justement en poursuivant jusqu'au bout on le voit bien ce -1 !! non ?

Posté par
Pirhore : Complexes 25-03-23 à 14:44

je voulais voir apparaître directement x=-1; mais en passant par z , on le déduit immédiatement aussi; donc OK, ma remarque était un peu c...

Posté par
tetrasre : Complexes 27-03-23 à 17:33

merci


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