Niveau Maths sup

Complexes,applications et bijection

Posté par mat671 (invité) 20-09-05 à 20:07

Bonjour à tous,
je vous poste un des exos de mon dm de maths, mais je bloque dessus ( j'ai reussi le debut) :

On considère l application f : C* vers C qui a z associe z + 1/z

1/ f est-elle inhective ? Surjective ?

=> f(i) = f(-i) donc f n'est pas injective
Pour la surjectivité, je ne vois pas comment faire

2. On considère gamma = {z appartient a C ; |z| = 1} . Determiner l'image G de gamma par f

=> Pareil, je ne vois pas, est-ce que l'image du cercle par f est un cercle ?

3. Determiner f-1 (G)

4. On considère D = {z appartient à C, 0 < |z| < 1. Montrer que g=f|D induit une bijection de D sur C\G

Je vous remercie par avance pour toute l'aide que vous pourrez m'apporter.

Posté par re : Complexes,applications et bijection 20-09-05 à 21:20

1/

Pour un complexe $a$ donné, on cherche un complexe $z$ tel que

$z+\frac 1 z = a$
$z^2-a z+1 = 0$

Tout trinôme de degré 2 admet deux racines (éventuellement confondues) dans $\mathbb C$

f est donc surjective.

2/

$z \in \Gamma &\;\Longleftrightarrow\;& \exists \theta \in [0 \, 2\pi[ \rm{ tel que }\,z = e^{i \theta}$

le discriminant vaut

$\frac 1 z = e^{-i \theta}$

$z+\frac 1 z = e^{i \theta}+e^{-i \theta}=2 \,\cos \theta$

L'image par f de $\Gamma$ est le segment $[-2\,2]$

3/

d'après le 1/ et le 2/
si $a \in G$ on peut écrire $a = 2\,\cos \theta$

$f(z)=a\;\Longleftrightarrow\; z^2-2\cos \theta z+1 = 0$

Le discriminant vaut donc $$2\,\cos\theta$^2-4=-4\,\sin^2\theta=$2i\,\sin\theta$^2$

$f(z)=a\;\Longleftrightarrow\; z\in\{\cos\theta + i\sin\theta^,,\, cos\theta - i\sin\theta}$

$\red f^{-1}(G)=\Gamma$

Posté par re : Complexes,applications et bijection 20-09-05 à 22:07

Tout d'abord, je suis désolé, jai tapé un peu vite.

il ne faut pas temir compte au 2/ de la phrase "le discriminant vaut " (qui était destinée au 3/)

4/ On considère D = {z appartient à C, 0 < |z| < 1. Montrer que g=f|D induit une bijection de D sur $\mathbb C - G$

$\forall a \in {\mathbb C} \;\;z^2-a z+1 = 0$ admet deux solutions dont le produit vaut 1
(En effet si $x_1$ et $x_2$ sont racines du trimome $\alpha x^2+\beta x +\gamma$ on a $\large x_1x_2= \frac \gamma \alpha$ )

D'après 2/ et 3/ $f(D) \subset \mathbb C - G$

Inversement si $a \in \mathbb C - G$ , $z^2-a z+1 = 0$ admet deux solutions dont le produit vaut 1 (et dont aucune n'est de module 1 d'après le 2/) donc l'une de ces racines est dans D et l'autre est de module > 1.

On en conclut la bijectivité.

Posté par re:Complexes,applications et bijection 20-09-05 à 22:16

Bonsoir mat671;
pour la surjectivité tu prends un $u\in\mathbb{C}$ et tu cherches s'il existe $z\in{\mathbb{C}}^*$ tel que $z+\frac{1}{z}=u$
il parait que oui puisque l'équation $x^2-ux+1=0$ admet toujours au moins une solution complexe.
f est donc bien surjective.
2/ pour $|z|=1$ on a $\frac{1}{z}=\bar{z}$ et donc $f(z)=2Re(z)$ et on voit alors que $G=f(\Gamma)=[-2,2]$
3/
$z\in f^{-1}(G)\Longleftrightarrow f(z)\in[-2,2]\Longleftrightarrow et\{{z+\frac{1}{z}=\bar{z+\frac{1}{z}}\\f(z)\in[-2,2]\}\Longleftrightarrow et\{{z-\bar{z}-\frac{z-\bar{z}}{|z|^2}=0\\f(z)\in[-2,2]\}\Longleftrightarrow et\{{z=\bar{z}\hspace{5}ou\hspace{5}|z|=1\\f(z)\in[-2,2]\}$
et comme pour $z$ réel non nul on a que:
$|f(z)|-2=\frac{z^2+1}{|z|}-2=\frac{(|z|-1)^2}{|z|}$
on voit que si $z$ est réel on a
$f(z)\in[-2,2]\Longleftrightarrow$ $z\in\{-1,1\}\subset\Gamma$
ainsi $f^{-1}(G)=\Gamma$
4/
* comme $et\{{f^{-1}(G)=\Gamma\\D\cap\Gamma=\empty$ on voit que $f(D)\cap G=\empty$ et donc que $g(D)\subset\mathbb{C}-G$ .
* soit $z,z'\in D$
$g(z)=g(z')\Longleftrightarrow (z-z')(1-\frac{1}{zz'})=0\Longleftrightarrow ou\{{z=z'\\zz'=1$
mais vu que $et\{{|z|<1\\|z'|<1$ on a que $|zz'|<1$ et donc que $zz'\neq1$
d'où $z=z'$ et g est injective.
* soit $u\in\mathbb{C}-G$ on sait que les antécédents de $u$ par $f$ sont les solutions $z$ et $z'$ de l'équation:
$x^2-ux+1=0$ et on sait aussi que:
$et\{{z+z'=u\\zz'=1$
on ne peut avoir $|z|=|z'|=1$ car sinon on aurait que: $u=z+\bar{z}=2Re(z)\in G$ ce qui est absurde bien entendu puisque $u\in\mathbb{C}-G$
ainsi on a $ou\{{|z|\neq1\\|z'|\neq1$
si $|z|<1$ on a $z\in D$
sinon $|z'|=\frac{1}{|z|}<1$ donc $z'\in D$ et g est surjective
Sauf erreur bien entendu

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