bonjour jai un pbm sur mon exo de maths
deduire des dévélloppements de (1+1)^n,(1+j)^n,(1+j²)^n les sommes des coefficients binomiaux de 3 en 3 :
A= C^0(indice n) + C^3(indice n) + C^6(indoce n) +...
B= C^1(indice n) + C^4(indice n) + C^7(indoce n) +...
C = C^2(indice n) + C^5(indice n) + C^8(indoce n) +...
mais je crois qu'il faut se servir de la fomule du binome
merci a ceux qui peuvent m'aider, jen ferais de mm
bonjour
permettez moi de vous répondre.
dans tous ce qui suit:
S(p=0,p=n) désigne le signe sigma de p=0 à p=n
Cn,p =n!/p!(n-p)!
dans ce cas:
(1+1)^n=S(p=0,p=n)Cn,p=2^n
et
(1+j)^n=S(p=0,p=n)Cn,p.j^p=(-j²)^n ; car 1+j+j²=0
-j²=-exp(i4Pi/3)=exp(i(Pi+4Pi/3))=exp(iPi/3)
donc
S(p=0,p=n)Cn,p.j^p=exp(inPi/3)
de même
(1+j²)^n=S(p=0,p=n)Cn,p.j^2p=(-j)^n ; car 1+j+j²=0
comme -j=-exp(2iPi/3)=exp(i(Pi +2Pi/3)=exp(5iPi/3)
=exp(-iPi/3)
donc
S(p=0,p=n)Cn,p.j^2p=exp(-inPi/3)
comme
S(p=0,p=n)Cn,p=(Cn,o+Cn,3+Cn,6+... )+(Cn,1+Cn,4+Cn,7+...)
+(Cn,2+Cn,5+Cn,8+...)
= A+B+C
donc A+B+C=2^n (1)
de même
S(p=0,p=n)Cn,pj^p=(Cn,o+Cn,3+Cn,6+... )+j(Cn,1+Cn,4+Cn,7+...)
+j²(Cn,2+Cn,5+Cn,8+...)
= A+jB+j²C
donc A+jB+j²C=exp(inPi/3) (2)
de même
S(p=0,p=n)Cn,pj^2p=(Cn,o+Cn,3+Cn,6+... )
+j²(Cn,1+Cn,4+Cn,7+...)
+j(Cn,2+Cn,5+Cn,8+...)
= A+j²B+jC
donc A+j²B+jC=exp(- inPi/3) (3)
les équation (1), (2) et (3) forment un système de trois équations linéaires
à trois inconnues A,B et C.
A+B+C=2^n (1)
et
A+jB+j²C=exp(inPi/3) (2)
et
A+j²B+jC=exp(- inPi/3) (3)
en ajoutant membre à membre les trois équations on obtient:
3A+(1+j+j²)B+(1+j+j²)C=2^2+exp(inPi/3)+exp(-inPi/3)
comme 1+j+j²=0 donc:
3A=2^n+2cos(nPi/3)
A=1/3[2^n+2cos(nPi/3)]
En faisant (1)+j(2)+j²(C) et en tenant compte de 1+j+j²=0
en obtient:
3C=2^n +j exp(inPi/3)+j²exp(-inPi/3)
comme j²=jbare
donc
j exp(inPi/3)+j²exp(-inPi/3)=2Re(jexp(inPi/3))
= 2cos(2Pi/3 +nPi/3)
=2cos(Pi/3(n +2))
donc C=1/3[2^n+2cos(Pi/3(n +2))]
En faisant (1)+j²(2)+j(C) et en tenant compte de 1+j+j²=0
en obtient:
3B=2^n +j² exp(inPi/3)+jexp(-inPi/3)
comme j²=jbare
donc
j²exp(inPi/3)+jexp(-inPi/3)=2Re(jbare.exp(inPi/3))
= 2cos(-2Pi/3 +nPi/3)
=2cos(Pi/3(n -2))
donc B=1/3[2^n+2cos(Pi/3(n -2))]
en résumé :
A=1/3[2^n+2cos(nPi/3)]
B=1/3[2^n+2cos(Pi/3(n -2))]
C=1/3[2^n+2cos(Pi/3(n +2))]
voila
bon courage
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