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complexes binomes!!

Posté par charline (invité) 23-02-04 à 22:20

bonjour jai un pbm sur mon exo de maths

deduire des dévélloppements de (1+1)^n,(1+j)^n,(1+j²)^n les sommes des coefficients binomiaux de 3 en 3 :

A= C^0(indice n) + C^3(indice n) + C^6(indoce n) +...
B= C^1(indice n) + C^4(indice n) + C^7(indoce n) +...
C = C^2(indice n) + C^5(indice n) + C^8(indoce n) +...

mais je crois qu'il faut se servir de la fomule du binome

merci a ceux qui peuvent m'aider, jen ferais de mm

Posté par
watik
re : complexes binomes!! 24-02-04 à 11:19

bonjour
permettez moi de vous répondre.


dans tous ce qui suit:

S(p=0,p=n) désigne le signe sigma de p=0 à p=n

Cn,p =n!/p!(n-p)!

dans ce cas:

(1+1)^n=S(p=0,p=n)Cn,p=2^n

et

(1+j)^n=S(p=0,p=n)Cn,p.j^p=(-j²)^n  ; car 1+j+j²=0

-j²=-exp(i4Pi/3)=exp(i(Pi+4Pi/3))=exp(iPi/3)

donc

S(p=0,p=n)Cn,p.j^p=exp(inPi/3)

de même

(1+j²)^n=S(p=0,p=n)Cn,p.j^2p=(-j)^n   ; car 1+j+j²=0

comme -j=-exp(2iPi/3)=exp(i(Pi +2Pi/3)=exp(5iPi/3)
               =exp(-iPi/3)

donc

S(p=0,p=n)Cn,p.j^2p=exp(-inPi/3)

comme
S(p=0,p=n)Cn,p=(Cn,o+Cn,3+Cn,6+... )+(Cn,1+Cn,4+Cn,7+...)
                              +(Cn,2+Cn,5+Cn,8+...)
                           = A+B+C
donc A+B+C=2^n            (1)

de même

S(p=0,p=n)Cn,pj^p=(Cn,o+Cn,3+Cn,6+... )+j(Cn,1+Cn,4+Cn,7+...)
                              +j²(Cn,2+Cn,5+Cn,8+...)
                           = A+jB+j²C
donc A+jB+j²C=exp(inPi/3)  (2)

de même

S(p=0,p=n)Cn,pj^2p=(Cn,o+Cn,3+Cn,6+... )
                                   +j²(Cn,1+Cn,4+Cn,7+...)
                                    +j(Cn,2+Cn,5+Cn,8+...)
                           = A+j²B+jC

donc A+j²B+jC=exp(- inPi/3)  (3)

les équation (1), (2) et (3) forment un système de trois équations linéaires
à trois inconnues A,B et C.

A+B+C=2^n                                    (1)
et
A+jB+j²C=exp(inPi/3)                   (2)
et
A+j²B+jC=exp(- inPi/3)                (3)

en ajoutant membre à membre les trois équations on obtient:

3A+(1+j+j²)B+(1+j+j²)C=2^2+exp(inPi/3)+exp(-inPi/3)

comme 1+j+j²=0 donc:

3A=2^n+2cos(nPi/3)

A=1/3[2^n+2cos(nPi/3)]

En faisant (1)+j(2)+j²(C) et en tenant compte de 1+j+j²=0

en obtient:

3C=2^n +j exp(inPi/3)+j²exp(-inPi/3)

comme j²=jbare

donc

j exp(inPi/3)+j²exp(-inPi/3)=2Re(jexp(inPi/3))
                                                 = 2cos(2Pi/3 +nPi/3)
                                                 =2cos(Pi/3(n +2))

donc C=1/3[2^n+2cos(Pi/3(n +2))]

En faisant (1)+j²(2)+j(C) et en tenant compte de 1+j+j²=0

en obtient:

3B=2^n +j² exp(inPi/3)+jexp(-inPi/3)

comme j²=jbare

donc

j²exp(inPi/3)+jexp(-inPi/3)=2Re(jbare.exp(inPi/3))
                                                 = 2cos(-2Pi/3 +nPi/3)
                                                 =2cos(Pi/3(n -2))

donc B=1/3[2^n+2cos(Pi/3(n -2))]

en résumé :

A=1/3[2^n+2cos(nPi/3)]

B=1/3[2^n+2cos(Pi/3(n -2))]

C=1/3[2^n+2cos(Pi/3(n +2))]

voila

bon courage

Posté par charline (invité)re : complexes binomes!! 25-02-04 à 10:47

je vous remercie de votre aide, elle m'est grande précieuse.

MERCI



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