j= -1/2 + i3/2 = cos (2/3) + isin(2/3) = e^i2/3
j(barre)= -1/2 - i3/2 = cos (4/3) - isin(4/3)= e^i4/3

Pour le 2) il faut faut trouver les racines de Z⁴=j et Z⁴=j(barre)

Pour la question 2 je propose un changement de variable en Z=z^4, c'est a dire résoudre Z²+Z+1=0 (on retrouve l'équation 1) et trouver les racines quatriemes des deux solutions trouvés précédemments. Je reprends ce que tu as dis jams avec un peu plus de précision car notre ami n'a pas l'air d'être tout a fait familiariser avec les complexes.

A++

z^8 + z^4 + 1 = 0

Poser z^4 = Z

Z² + Z + 1 = 0

Z1 = [-1 - i.V(3)]/2
Z2 = [-1 + i.V(3)]/2
---
a)
z^4 = [-1 - i.V(3)]/2
z^4 = -(1/2) - i.V(3)/2
z^4 = cos(4Pi/3 + 2kPi) + i.sin(4Pi/3 + 2kPi)
z = cos(Pi/3 + kPi/2) + i.sin(Pi/3 + kPi/2)

On trouve 4 valeurs possibles pour z avec k = 0,1,2 et 3
z1 = cos(Pi/3) + i.sin(Pi/3) = (1/2) + (1/2).(V3).i
z2 = cos(Pi/3 + Pi/2) + i.sin(Pi/3+ Pi/2) = cos(5Pi/6) + i.sin(5Pi/6) = -(1/2).V3 + (1/2).i
z3 = cos(Pi/3 + Pi) + i.sin(Pi/3+ Pi) = -(1/2) - (1/2).(V3).i
z4 = cos(Pi/3 + 3Pi/2) + i.sin(Pi/3 + 3Pi/2) = (1/2).V3 - (1/2).i

b)
z^4 = [-1 + i.V(3)]/2
z^4 = -(1/2) + i.V(3)/2
z^4 = cos(2Pi/3 + 2kPi) + i.sin(2Pi/3 + 2kPi)
z = cos(Pi/6 + kPi/2) + i.sin(Pi/6 + kPi/2)

On trouve 4 valeurs possibles pour z avec k = 0,1,2 et 3
z5 = cos(Pi/6) + i.sin(Pi/6) = (1/2).V3 + (1/2).i
z6 =  cos(Pi/6 + Pi/2) + i.sin(Pi/6 + Pi/2) = ...
z7 =  cos(Pi/6 + Pi) + i.sin(Pi/6 + Pi) = ...
z8 =  cos(Pi/6 + 3Pi/2) + i.sin(Pi/6 + 3Pi/2) = ...
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Sauf distraction.  

Super sympa, un grand merci a tous encore une fois