Bonjour tout le monde, j'espère que vous allez bien. Moi ça va.
Je continue toujours mon aventure avec les complexes, et j'ai encore rencontré une difficulté. Notamment sur une question de démonstration par récurrence. Le concept me pose des problèmes encore et toujours, mais j'espère que vous allez m'éclairer.
Exercice :
Soit un nombre complexe tel que :
Démontrer que pour tout entier naturel , on a :
.
Premièrement, je me suis dit que pour démontrer, il va falloir utiliser la récurrence.
Soit :
.
Initialisation :
est vraie car :
et on tombe sur du
Hypothèse de récurrence :
Soit à supposer vrai :
On veut montrer que : est aussi vraie.
Et c'est là que je cale justement. Je ne sais pas du tout commeent me tirer de là. Je vous demande votre aide.
Merci d'avance 😊
bonjour
hum...personnellement, je ne l'aurais pas attaqué ainsi
et si tu partais que tu peux écrire z sour la forme avec r dans...et t dans ....
et que tu en déduis la valeur de r...et ensuite ce sera immédiat
Je propose une 3ème méthode
Chercher les valeurs possibles de z
en résolvant cette équation d'inconnue
:
Elle est équivalente à l'équation de degré 2 suivante : Z2 - 2cos
Z + 1
=
0 .
Écrire le premier membre sous forme canonique, puis factoriser.
z est l'une des 2 solutions.
Bonjour,
Attention, ce qui suit "En utilisant l'hypothèse de récurrence :" n'utilise pas P(k) mais utilise P(k+1) .
Poser u(n) = zn+1/zn permet de clarifier un peu tes calculs.
Tu trouves en fait ceci :
u(k)u(1) = u(k+1)+u(k-1)
Tu peux t'en servir pour la récurrence, si tu utilises P(k) et P(k-1) pour l'hérédité.
Oui, pas très clair en fait
Je parle d'abord de ton message du 31 à 16h47.
Tu y écris "En utilisant l'hypothèse de récurrence" et tu utilises autre chose :
qui doit être la conclusion de l'hérédité.
J'essaye ensuite d'indiquer comment faire la démonstration par récurrence.
Il s'agit d'une récurrence forte où, dans l'hérédité, on utilise le rang k mais aussi le rang k-1 pour démontrer le rang k+1.
salut
Sylvieg : je pense que l'idée du pb est de le résoudre sans déterminer les valeurs ...
et l'idée de sanantonio312 est la plus naturelle ... puisqu'on parle de récurrence ...
@carpediem,
Si l'énoncé n'exige pas une démonstration par récurrence, je trouve qu'en mobiliser une c'est faire compliqué alors qu'on peut faire simple, avec une équation de degré 2 ou la méthode de malou..
certes mais
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