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Complexes et démonstration par récurrence

Posté par
md8968770
30-08-19 à 16:43

Bonjour tout le monde, j'espère que vous allez bien. Moi ça va.

Je continue toujours mon aventure avec les complexes, et j'ai encore rencontré une difficulté. Notamment sur une question de démonstration par récurrence. Le concept me pose des problèmes encore et toujours, mais j'espère que vous allez m'éclairer.

Exercice :
Soit un nombre complexe tel que :
z+\frac{1}{z} = 2cos(\theta)
Démontrer que pour tout entier naturel n, on a :
z^n+\frac{1}{z^n}=2cos(n\theta).


Premièrement, je me suis dit que pour démontrer, il va falloir utiliser la récurrence.

Soit :
P(n) : z^n+\frac{1}{z^n}=2cos(n\theta).

Initialisation :
P(0) est vraie car :
z^0+\frac{1}{z^0} = 2cos(0*\theta) et on tombe sur du 2=2


Hypothèse de récurrence :

Soit à supposer vrai :
P(k) : z^k+\frac{1}{z^k}=2cos(k\theta)

On veut montrer que : P(k+1) est aussi vraie.

Et c'est là que je cale justement. Je ne sais pas du tout commeent me tirer de là. Je vous demande votre aide.
Merci d'avance 😊

Posté par
sanantonio312
re : Complexes et démonstration par récurrence 30-08-19 à 16:49

Bonjour,
Une piste de recherche: calcule (z^k+\frac{1}{z^k})(z+\frac{1}{z})

Posté par
malou Webmaster
re : Complexes et démonstration par récurrence 30-08-19 à 16:50

bonjour
hum...personnellement, je ne l'aurais pas attaqué ainsi
et si tu partais que tu peux écrire z sour la forme re^{it} avec r dans...et t dans ....
et que tu en déduis la valeur de r...et ensuite ce sera immédiat

Posté par
malou Webmaster
re : Complexes et démonstration par récurrence 30-08-19 à 16:51

je répondais à md8968770, et pas à sanantonio312 dont je n'ai pas essayé la méthode

Posté par
sanantonio312
re : Complexes et démonstration par récurrence 30-08-19 à 16:53

Bonjour malou, je vais essayer la tienne...

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Complexes et démonstration par récurrence 30-08-19 à 21:18

Je propose une 3ème méthode \;
Chercher les valeurs possibles de \; z \; en résolvant cette équation d'inconnue \; Z : \; \;  Z+\frac{1}{Z} = 2cos\theta
Elle est équivalente à l'équation de degré 2 suivante : \; Z2 - 2cos Z + 1 \; = \; 0 .

Écrire le premier membre sous forme canonique, puis factoriser.
z \; est l'une des 2 solutions.

Posté par
md8968770
re : Complexes et démonstration par récurrence 30-08-19 à 22:37

sanantonio312 @ 30-08-2019 à 16:49

Bonjour,
Une piste de recherche: calcule (z^k+\frac{1}{z^k})(z+\frac{1}{z}))


J'ai encore essayé celà, mais j'ai bloqué plus loin. Voilà ce que j'ai fait :

(z^k+\frac{1}{z^k})(z+\frac{1}{z})=z^{k+1}+\frac{z^k}{z}+\frac{z}{z^k}+\frac{1}{z^{k+1}}

En utilisant l'hypothèse de récurrence :

2cos((k+1)\theta)+\frac{z^k}{z}+\frac{z}{z^k}

Et j'ai eu l'idée de simplifier :


2cos((k+1)\theta)+z^{k-1}+\frac{1}{z^{k-1}}

C'est là que je bloque.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Complexes et démonstration par récurrence 31-08-19 à 16:47

Bonjour,
Attention, ce qui suit "En utilisant l'hypothèse de récurrence :" n'utilise pas P(k) mais utilise P(k+1) .

Poser u(n) = zn+1/zn permet de clarifier un peu tes calculs.
Tu trouves en fait ceci :
u(k)u(1) = u(k+1)+u(k-1)

Tu peux t'en servir pour la récurrence, si tu utilises P(k) et P(k-1) pour l'hérédité.

Posté par
md8968770
re : Complexes et démonstration par récurrence 01-09-19 à 06:45

Sylvieg @ 31-08-2019 à 16:47

Bonjour,
Attention, ce qui suit "En utilisant l'hypothèse de récurrence :" n'utilise pas P(k) mais utilise P(k+1) .

Poser  u(n) = zn+1/zn  permet de clarifier un peu tes calculs.
Tu trouves en fait ceci :
u(k)u(1) = u(k+1)+u(k-1)

Tu peux t'en servir pour la récurrence, si tu utilises P(k) et P(k-1) pour l'hérédité.


Je n'ai pas bien compris

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Complexes et démonstration par récurrence 01-09-19 à 07:17

Oui, pas très clair en fait
Je parle d'abord de ton message du 31 à 16h47.
Tu y écris "En utilisant l'hypothèse de récurrence" et tu utilises autre chose :

z^{k+1}+\frac{1}{z^{k+1}}  = 2cos((k+1)\theta) \; \; qui doit être la conclusion de l'hérédité.

J'essaye ensuite d'indiquer comment faire la démonstration par récurrence.
Il s'agit d'une récurrence forte où, dans l'hérédité, on utilise le rang k mais aussi le rang k-1 pour démontrer le rang k+1.

Posté par
carpediem
re : Complexes et démonstration par récurrence 01-09-19 à 10:41

salut

Sylvieg : je pense que l'idée du pb est de le résoudre sans déterminer les valeurs ...

et l'idée de sanantonio312 est la plus naturelle ... puisqu'on parle de récurrence ...

md8968770 @ 30-08-2019 à 16:43

Initialisation :
P(0) est vraie car :
z^0+\frac{1}{z^0} = 2cos(0*\theta) et on tombe sur du 2=2

Hypothèse de récurrence :
Soit à supposer vrai :
P(k) : z^k+\frac{1}{z^k}=2cos(k\theta)

On veut montrer que : P(k+1) est aussi vraie.

Et c'est là que je cale justement. Je ne sais pas du tout comment me tirer de là. Je vous demande votre aide.
Merci d'avance 😊
donc tu ne sais pas ce qu'est le raisonnement par récurrence ... puisque l'initialisation est toujours une trivialité ...

et l'ensemble est très mal rédigé :

initialisation : on veut montrer que A = B(pour une valeur: ici k = 0) donc :
on calcule A
on calcule B
et on conclut (par définition une conclusion est toujours à la fin du raisonnement)

hérédité on sait ce qu'on veut donc inutile de l'écrire ..
on écrit seulement l'hypothèse de récurrence
et on attaque le raisonnement ou calcul pour passer au rang suivant !!

tu veux donc montrer que z^{k + 1} + \dfrac 1 {z^{k + 1}} = 2 \cos [(k + 1)t]

il faut donc calculer z^{k + 1} + \dfrac 1 {z^{k + 1}} ... et sanantonio312 a tout dit ...

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Complexes et démonstration par récurrence 01-09-19 à 18:10

@carpediem,
Si l'énoncé n'exige pas une démonstration par récurrence, je trouve qu'en mobiliser une c'est faire compliqué alors qu'on peut faire simple, avec une équation de degré 2 ou la méthode de malou..

Citation :
on écrit seulement l'hypothèse de récurrence
et on attaque le raisonnement ou calcul pour passer au rang suivant !!
Attention, il me semble que l'hypothèse de récurrence classique ne suffit pas. Il faut supposer sur deux rangs.

Posté par
carpediem
re : Complexes et démonstration par récurrence 01-09-19 à 18:48

certes mais

md8968770 @ 30-08-2019 à 16:43

Notamment sur une question de démonstration par récurrence.
donc c'est son pb ... même si peut-être c'est aussi son idée et que ça n'est pas dans l'énoncé ...

enfin sans même aucune information dans l'énoncé la récurrence me semble tout de même le plus naturel ...

si éventuellement je n'y arrive pas alors j'aurai contourné la difficulté en allant chercher à résoudre une équation du second degré ...

mais bon ce n'est pas faire des mathématiques comparé à faire une démonstration par récurrence

Sylvieg @ 01-09-2019 à 18:10

Attention, il me semble que l'hypothèse de récurrence classique ne suffit pas. Il faut supposer sur deux rangs.
pour moi (et c'est ce que j'ai appris) il n'y a qu'un raisonnement par récurrence : la seule variable est mon hypothèse de récurrence : tout dépend de ce que j'y mets ...



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