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Complexes et modules

Posté par
gui_tou 09-09-07 à 22:54

Bonsoir à tous

Une petite question qui me tracasse :

Remarque préléminaire : on sait que 4$|z_0+z|=|z_0|+|z|\Longrightarrow \exists\lambda \in \mathbb{R}^{+} , 4$z=\lambda.z_0

Citation :
Soient 4$z_1, z_2, ..., z_n\, \in \mathbb{C}. Montrer que :

5$\|\sum_{k=0}^{n}\, z_k\|\,=\, \sum_{k=0}^{n}\, \|z_k\|\,\Longrightarrow\exists (\lambda_1,...,\lambda_n)\in\mathbb{R}^{+^{n}}\;\;, \forall k\in [1,n], z_k=\lambda_k.z_0


Cela paraît évident, mais je ne vois pas comment rédiger une démonstration rigoureuse

Merci d'avance

Posté par
Ksilverre : Complexes et modules 09-09-07 à 23:00

Salut !


je suppose qu'on suppose Zo non nul ?


c'est une récurence :


somme des |zk| = |somme de 0 a n de Zk| <= |Zn|+|somme de 0 (n-1) de Zk|

etant donné que l'inégalité trianulaire donne l'autre inégalité, on en déduit que :

somme des |zk| = |Zn|+|somme de 0 (n-1) de Zk|

on simplifie le |Zn| et on est ramené au cas (n-1)...
plus qu'a pauffiner tous ca ^^

Posté par
gui_toure : Complexes et modules 09-09-07 à 23:21

Salut Ksilver

Tu supposes bien, 4$z_0\in\mathbb{C^\ast}

J'ai pensé une seconde à la récurrence, mais je n'y ai pas cru.

Mais je ne comprends pas tout :

On a bien 5$\sum_{k=0}^{n}\,\|z_k\|\,= \|z_n\| + \|\sum_{k=0}^{n-1}\,z_k\|

Après, en simplifiant par z_n, on a


5$\sum_{k=0}^{n-1}\,\|z_k\|\,=\,\|\sum_{k=0}^{n-1}\,z_k\|

Et, à quoi ça peut bien servir ?

Si c'est ça, je ne vois pas où interviennent les \lambda_k car c'est quand même mon objectif, en déduire que 4$z_k=\lambda_k.z_0


En tout cas merci de ta serviabilité et de ta promptitude



Posté par Max_ou (invité)re : Complexes et modules 09-09-07 à 23:26

Il est pour quand ce DM: roll:
En tout cas c'est clairement pas mon niveau, je passe !
Bon courage tout de même.

Posté par
Ksilverre : Complexes et modules 10-09-07 à 00:12




Et, à quoi ça peut bien servir >>> ton hypothese de récurence te permet de conclure que z1=l1*zo, ... z(n-1) =l(n-1)*zo : c'est exactement l'énoncé pour (n-1).

Posté par
gui_toure : Complexes et modules 10-09-07 à 00:23

Je suis désolé Ksilver mais je ne vois pas où tu veux en venir.

Quelle est l'hypothèse de récurence ? Pour montrer quoi ?

Citation :
z1=l1*zo, ... z(n-1) =l(n-1)*zo


Serait-ce z_1=\|1\times z_0\times...\times z_{n-1}\|=(n-1)z_0 ??

Pardon de mon incompréhension, on va mettre ça sur le compte de la fatigue

En tout cas merci beaucoup

Posté par
romure : Complexes et modules 10-09-07 à 00:27

bonsoir,

oui c'est bien ça

ksilver a mis la fin de la valeur absolue apres le signe '='

Posté par
Ksilverre : Complexes et modules 10-09-07 à 00:28

non, tu fais l'hypothese de récurence que :


|somme de k=0 a (n-1) Zk | = somme de k=0 a (n-1)| Zk | => pour tous k entre 1 et (n-1) il existe un réel lk telle que zk=lk*zo


et tu l'utilise !

Posté par
gui_toure : Complexes et modules 10-09-07 à 00:28

Ok merci Romu

Posté par
Ksilverre : Complexes et modules 10-09-07 à 00:29

ah j'ai compris ce qui te bloquais !!!


désolais pour ma notation :
ce que je voulais dire c'est :
z1=L1*zo,
...
zk=Lk*zo
...
z(n-1) =L(n-1)*zo


ce qui ressemble a un signe de valeur absolue, c'est un L minuscule ^^

Posté par
gui_toure : Complexes et modules 10-09-07 à 00:38

Ah OK !!

Attention à ce que je ne m'emballe pas trop vite.

On note \mathcal{P}_{n} la propriété comme quoi la somme des modules etc => z_k=\lambda z_0

Après l'avoir montré, (ce que tu as fait Ksilver) je vais dire que je considère \mathcal{P}_{n-1} est vraie.
Pour n=2 \mathcal{P}_{n-1} est vraie.

Comme \mathcal{P}_{n} est vraie (c'est l'énoncé) alors \mathcal{P}_{n-1} est vraie et donc \mathcal{P}_{n} l'est aussi.

Ce serait ça ?

Posté par
romure : Complexes et modules 10-09-07 à 00:42

ah oui pardon

c'est pour ça qu il y avait une petite virgule.

euh non tu dois montrer que P_n est vraie en supposant P_{n-1} vraie.

Posté par
gui_toure : Complexes et modules 10-09-07 à 00:44

Oui Romu c'est ce que je pensais.

Je considère \mathcal{P}_{n-1} vraie et comme \mathcal{P}_{n} est vraie alors la propriété de récurence est vraie, à savoir \mathcal{P}_{n-1}.

A fortiori, \mathcal{P}_{n} est vraie.

Non ?

Posté par
Ksilverre : Complexes et modules 10-09-07 à 00:45

j'ai pas bien compris ton poste.



on suppose P(n-1) est vrai.

on suppose ensuite que :
|somme de k=0 a n Zk | = somme de k=0 a n | Zk |
on fais le petit calcule que j'ai fais, pour montrer que
|somme de k=0 a (n-1) Zk | = somme de k=0 a (n-1) | Zk |

on utilise P(n-1) pour dire "donc pour tous k entre 1 et (n-1)
Zk=Lk * Zo.

ensuite, il faut aussi montrer que Zn=Ln*Zo, mai c'est pas trop compliqué, il suffit de réinjecté le fait que  Zk=Lk * Zo dans |somme de k=0 a n Zk | = somme de k=0 a n | Zk | .

on a donc prouvé (en supposant P(n-1) vrai) que :
|somme de k=0 a n Zk | = somme de k=0 a n | Zk |  => pour tous k entre 1 et n Zk=Lk * Zo

ie Pn.

donc P(n-1) => Pn, et comme tu as prouvé P1, on a par récurence, Pn quelque soit n.

Posté par
Ksilverre : Complexes et modules 10-09-07 à 00:46

sur ce... bonne nuit :p

Posté par
gui_toure : Complexes et modules 10-09-07 à 00:49

Ok merci beaucoup Ksilver

Je verrais ça demain en détail (même si à 8h00 je ne m'en soucierais plus, mes 3 copies doubles seront sur le bureau du prof)

Bonne nuit

Posté par
romure : Complexes et modules 10-09-07 à 00:53

ah oui du coup,

4$|\bigsum_{k=0}^n z_k | = |\bigsum_{k=0}^{n-1} \lambda_k z_0 + z_n| = |\bigsum_{k=0}^{n-1} \lambda_k z_0| + |z_n|  

Posté par
romure : Complexes et modules 10-09-07 à 00:57

pardon,

4$|\bigsum_{k=0}^n z_k | = |(\bigsum_{k=0}^{n-1} \lambda_k) z_0 + z_n| = |(\bigsum_{k=0}^{n-1} \lambda_k) z_0| + |z_n|  

et donc si je comprends bien on utilise la remarque préliminaire du premier post pour en déduire qu il existe un réel positif l_n tel que

4$z_n = l_n(\bigsum_{k=0}^{n-1} \lambda_k) z_0,

d'où 4$l_n(\bigsum_{k=0}^{n-1} \lambda_k) est le \lambda_n cherché.

Posté par
romure : Complexes et modules 10-09-07 à 00:58

bonne nuit ksilver


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