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complexes et suites...a l aide!!!
bonjour j'ai un exercice de maths sur les complexes et les suites
et je n'ai rien compris alors si vous pouvez m'aider un
tout petit peu ce serait tres gentil de votre part:
dans tout ce problème on note £ le nombre complexe cos 2pi/5+isin2pi/5
on pose pour tout entier naturel n, £n=£^n et Pn le point d'affixe
£n
1-determiner le module et un argument de £1 £2 £3 £4 et£5
2- en deduire que £,£^2 ,£^3,£^3 sont solutions de z^5=0 puis de z^4+z^3+z^2+1=0
3- soit z un nombre complexe
developer et simplifier (z-£)(z-£^2)(z-£^3)(z-£^4)
en de duire les solution de l'equation z^4+z^3+z^3+z+1et expliquer
pourquoi £est la seule dont la partie reellle et la partie imaginaire
sont positives
merci d'avance de bien vouloir m'expliquer comment faire cet
exo
Petit coup de main.
1)
£ = cos(2pi/5)+isin(2pi/5)
Par Moivre ->
£n = cos(2npi/5)+isin(2npi/5)
£1 = cos(2pi/5)+isin(2pi/5)
|£1 | = 1
arg(£1) = 2Pi/5
£2 = cos(4pi/5)+isin(4pi/5)
|£2 | = 1
arg(£2) = 4Pi/5
...
----
2)
Par ex pour £2
(£2)^5 = cos(4*5.pi/5)+isin(4*5.pi/5)
(£2)^5 = cos(4pi)+isin(4pi)
(£2)^5 = 1
Pareil pour £0; £1; £3; £4
Et donc £0, £1, £2, £3, £4 sont solutions de z^5= 1 (ET PAS 0 COMME
TU L'AS ECRIT)
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Pour t'aider pour la suite:
La somme des n racines nième de l'unité = 0
Or ces racines sont données par :cos(2kpi/n)+isin(2kpi/n) avec k entier
de 0 à (n-1)
Donc £0, £1, £2, £3, £4 sont donc les 5 racines cinquièmes de l'unité.
On remarquera que £0 = cos(0)+isin(0) = 1
...
--------
Sauf distraction.
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