Niveau terminale

complexes et trigonométrie

Posté par maroon5girl (invité) 16-03-05 à 22:21

Bonsoir j'ai un petit exo à faire sur les nombre complexes et je pige absolument rien du tout si vous pouvez m'aider ce serait cool
je dois passer de la forme exponentielle à une autre forme qui est exprimé en fonction de cos et sin...je sais pas si vous avez tout compris...
par exemple j'ai réussi à faire le premier:

(e $^{i\alpha}$ )³= e $^{3i\alpha}$
normalement à la place de alpha c'est téta mais je savai pas comen le faire apparaître et donc une fois arivé là je suis bloquée

merci d'avance

Posté par re : complexes et trigonométrie 16-03-05 à 22:31

as tu vu que
cosx=(eix-e(-ix))/2 et de même pour le sinus mais avec un +

Posté par maroon5girl (invité)re : complexes et trigonométrie 16-03-05 à 22:32

euh non pas du tout

Posté par re : complexes et trigonométrie 17-03-05 à 00:39

Bonsoir maroon5girl,

$e^{3ia}=cos(3a)+isin(3a)$

Calculons cos(3a) en fonction de cos(a) :

$cos(3a)=cos(2a)cos(a)-sin(2a)sin(a)$

$=(2cos^2(a)-1)cos(a)-2sin(a)cos(a)sin(a)$

$=2cos^3(a)-cos(a)-2cos(a)(1-cos^2(a))$

$=4cos^3(a)-3cos(a)$

donc $\blue\fbox{cos(3a)=4cos^3(a)-3cos(a)$

Calculons sin(3a) en fonction de sin(a) :

$sin(3a)=sin(2a)cos(a)+sin(a)cos(2a)$

$=2sin(a)cos(a)cos(a)+sin(a)(2cos^2(a)-1)$

$=3sin(a)cos^2(a)-sin(a)$

$=3sin(a)(1-sin^2(a))-sin(a)$

$=-4sin^3(a)+3sin(a)$

donc $\blue\fbox{sin(3a)==-4sin^3(a)+3sin(a)$

donc $4$\rm\red\fbox{e^{3ia}=[4cos^3(a)-3cos(a)]+i[-4sin^3(a)+3sin(a)]}$

$(e^{ia})^3=(cos(a)+isin(a))^3$

$=cos^3(a)+3iscos^2(a)sin(a)+3i^2cos(a)sin^2(a)+i^3sin^3(a)$

$=cos^3(a)+3icos(a)^2sin(a)-3cos(a)sin^2(a)-isin^3(a)$

$=[cos^3(a)-3cos(a)sin^2(a)]+i[3cos^2(a)sin(a)-sin^3(a)]$

$=[cos^3(a)-3cos(a)(1-cos^2(a))]+i[3(1-sin^2(a))sin(a)-sin^3(a)]$

$=[4cos^3(a)-3cos(a)]+i[-4sin^3(a)+3sin(a)]$

donc $4$\rm\red\fbox{(e^{ia})^3=[4cos^3(a)-3cos(a)]+i[-4sin^3(a)+3sin(a)]}$

et en rapprochant les expressions en rouges on a donc :

$5$\rm\blue\fbox{(e^{ia})^3=e^{3ia}}$

Salut

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