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Comportement asymptotique d'une fonction

Posté par
cetiop 16-03-08 à 12:19

Salut,
Voilà j'ai un exercice et j'aimerais bien de l'aide.
C'est un exercice avec une équation différentielle :
y''(t)+16y(t)=20e^(-2t)

Je trouve cette solution : ys(t)=-2cos 4t + sin 4t + e^(-2t)  (solution homogène+particulière)

1)On note s(t) la partie sinusoïdale de ys(t).
Je trouve s(t) = sin 4t

2)Puis après il faut trouver le comportement asymptotique de la fonction ys(t)-s(t)

Je trouve ça : ys(t)-s(t)=-2cos 4t + e^(-2t)

Je pense que mes calculs sont bons.
Mais la je bloque pour le comportement asymptotique.
Donc si quelqu'un veux bien m'aider svp.

En vous remerciant.
Et j'espère ne pas m'être trompé pour la section.

Posté par
gui_toure : Comportement asymptotique d'une fonction 16-03-08 à 12:21

Salut

Pour l'équa diff, tu as des conditions à l'origine ?

Posté par
cetiopre : Comportement asymptotique d'une fonction 16-03-08 à 12:30

Oui désolé j'avais oublié de les mettre.
y(0)=-1 et y'(0)=2

Merci

Posté par
gui_toure : Comportement asymptotique d'une fonction 16-03-08 à 12:35

Ok

Eh ba en fait la partie sinusoïdale, ce n'est pas que le sinus , c'est 3$y_s(t)=\sin(4t)-2\cos(4t)

Posté par
cetiopre : Comportement asymptotique d'une fonction 16-03-08 à 13:15

lol merci beaucoup.
Pour moi sinusoïdale correspond à sinus ^^.
Merci encore pour ton aide.

Au faite j'ai une autre question à propos d'un autre exercice.

Il faut que je calcule A et B :
[ 1/cos t ] = [ A cos t /(1+sin t) ] + [ B cos t /(1-sin t) ]

Il faut faire la décomposition mais je n'y arrive pas.
Si tu pouvais m'aider par la même occasion ça serais sympas.
Merci beaucoup.

Posté par
gui_toure : Comportement asymptotique d'une fonction 16-03-08 à 13:29

Ce que je ferais :

4$\fr{A.\cos(t)}{1+\sin(t)}+\fr{B.\cos(t)}{1-\sin(t)} \\ =\fr{A.\cos(t)(1-\sin(t)+B.\cos(t)(1+\sin(t))}{(1+\sin(t))(1-\sin(t)} \\ =\fr{A.\cos(t)-A.\sin(t)+B.\cos(t)+B.\sin(t)}{1-\sin^2(t)} \\ =\fr{\cos(t)(A+B)+\sin(t)(B-A)}{\cos^2(t)}

Et, pour 2$\rm t\not=\fr{\pi}{2}+k\pi,\;k\in\bb{Z}, on a 3$\fr{1}{\cos(t)}=\fr{A.\cos(t)}{1+\sin(t)}+\fr{B.\cos(t)}{1-\sin(t)}\;\Leftright\;\fr{1}{\cos(t)}=\fr{\cos(t)(A+B)+\sin(t)(B-A)}{\cos^2(t)}

3$\rm \Leftright \{A+B=1\\B-A=0\}\Leftrightarrow A=B=\fr12

Sauf erreur

Posté par
Tigweg Correcteurre : Comportement asymptotique d'une fonction 16-03-08 à 13:39

Salut vous deux

Il y a un petit problème dans ton calcul Guillaume, en haut on trouve

Acos t(1-sin t)+Bcos t(1+sin t)=(A+B)cos t+(B-A)cos t sin t donc en simplifiant par cos t en haut et en bas il reste cos t en bas et (A+B)+(B-A) sin t en haut.

Pour que ça fasse tout le temps 1 il suffit que A+B=1 et A-B=0 .

On tombe sur les mêmes résultats.

Posté par
gui_toure : Comportement asymptotique d'une fonction 16-03-08 à 13:42

salut greg

J'ai récidivé avec mes âneries j'ai zappé le produit cos(t).sin(t) ...

Posté par
Tigweg Correcteurre : Comportement asymptotique d'une fonction 16-03-08 à 13:43

Toujours aussi fan d'équas diffs à ce que je vois?

Posté par
cetiopre : Comportement asymptotique d'une fonction 16-03-08 à 13:47

Merci pour vos réponse.
Je vais refaire le calcul et je vous direz si c'est ça.
Merci encore et bonne journée.

Posté par
Tigweg Correcteurre : Comportement asymptotique d'une fonction 16-03-08 à 13:49

J'ai pas fait grand-chose, mais merci quand même

Posté par
gui_toure : Comportement asymptotique d'une fonction 16-03-08 à 13:53

Pardon pour ma part

Greg > je raffole de tout ce qui est dans la rubrique autre, et faisable pour moi ^^

Posté par
Tigweg Correcteurre : Comportement asymptotique d'une fonction 16-03-08 à 13:59

Ok!Parce que je te vois tout le temps sur les problèmes d'équas diffs, en questionneur ou en "répondeur"

Posté par
gui_toure : Comportement asymptotique d'une fonction 16-03-08 à 14:16


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