salut

pour 1/ je dirai que si tu prends un projecteur p de noyau F et d'image G alors pour tout voisinage V de p il existe un q dans V tel que q est aussi un projecteur ...

carpediem il n'y aurait donc pas de points isolés dans P? Comment construis tu q?

ben que dit la question : p <> 0 et p <> I bien sûr !!

je sais pas !!

Ok j'ai avancé dans ma recherche de la solution:
Pour la 1):
La trace est linéaire sur de dimension continue. La trace est donc continue sur . Donc tel que , . Or, , Donc , , est isolé
Le raisonnement est analogue avec

il faut encore que je montre que les projecteurs qui ne sont ni ni l'identité ne sont pas isolés, j'ai essayé d'exhiber pour un de ces projecteurs une suite non stationnaire de projecteurs l'admettant pour limite mais je n'en ai pas trouvé

Pour la 2)

S'il existe un chemin continu dans reliant et des projecteurs de rangs distincts, alors est continue de connexe par arcs dans et n'est pas constante, ce qui est absurde

Il me reste à montrer que deux projecteurs de même rang k sont reliables par un chemin continu dans l'ensemble des projecteurs de rang k, mais je n'y arrive pas

Des suggestions?

Bonjour,

Les deux choses peuvent se faire en même temps. Tu peux par exemple utiliser le fait que est connexe, autrement dit qu'on peut passer continûment dans l'ensemble des bases de la base standard à n'importe quelle autre base de même orientation.

Bonjour GBZM, j'ai bien pensé à utiliser le fait que tout projecteur de trace comprise entre 1 et n-1 est semblable à diag (1,...,1,0,...0) (avec au moins un 1 et un 0 donc), mais rien ne m'assure que les matrices de passage sont de déterminant positif, c'est ce qui me bloque

Passage de quoi à quoi ? Réfléchis à cette question, et tu verras qu'on peut bien travailler uniquement avec des matrices à déterminant positif.

De passage d'une base adaptée au projecteur à la base canonique?
Je ne vois pas...

Voyons ... si tu remplaces un des vecteurs d'une base adaptée à un projecteur par son opposé, tu n'as plus une base adaptée à ce projecteur ?

   Bonsoir !
   Si  pour k   [0 , n]  on désigne par P_k l'ensemble des p de P de rang k on obtient une partition  {P₀ ,....,P_n} de P .
On a P₀ = { 0_n } et P_n = {Id_n } .
  Si on montre que les P_k  (0 < k < n ) sont connexes  on aura la partition en connexes de P .
'En posant , pour 0 < k < n , D(k) = Diag(1,...,1,0,...,0)  ( k fois 1 et n-k foie 0)  il revient au même   de montrer  que C(k) :=       {A^-1D_kA │ A GL(n,) }  est un connexe de  GL(n,) }  
Or on voit que C(k) est l'image de  GL(n,) par l'application , continue , A    A^-1D_kA .
Comme c'est GL⁺(n,) qui est connexe il suffit de montrer que si A GL^-(n,) il existe B GL⁺(n,)  telle que  A^-1D_kA = B^-1D_kB

Salut, j'ai trouvé pour rester dans GL+(n,R): en reprenant tes notationsetniopal, si P est un projecteur qui n'est ni l'identité ni la matrice nulle, . Si c'est bon, sinon je pose , det(L)>0 et  

Merci pour vos contributions etniopal et GBZM