Bonjour,

Une piste pourrait être d'écrire une équation cartésienne de l'hyperplan sous la forme a1.x1+...+an.xn=0 puis d'étudier l'ensemble {(x1,...,xn)/ a1.x1+...+an.xn>0} et un deuxième que tu devineras facilement. Ces deux demi-espaces doivent être les composantes connexe de R^n\H.

Exemple : n=2 , H est une droite d'équation ax+by=0.
Si on la trace, on voit qu'elle coupe le plan en deux parties convexes : l'ensemble {(x,y) / ax+by > 0 } et le deuxième que tu devineras facilement.

Si tu as compris ça, après il reste les détails techniques à régler.

Bonne journée,
Tronchenbiais

Merci de ta réponse,

J'ai trouvé cette solution plusieurs fois sur d'autres sites, et je la comprend bien ;

Cependant, dans le cours relatif à cet exercice, on n'a jamais utilisé, ni même défini les équations cartésiennes des hyperplan...on a juste dit : hyperplan = sev de codimension 1 = noyau d'une forme linéaire, puis les propriétés relatives à la continuité ( forme linéaire continue entraine hyperplan fermé...), donc je me dis qu'il y a peut-être une autre solution.

Bonsoir,

Effectivement il y a certainement des façons de procéder sans supposer les équations cartésiennes d'hyperplan, la première d'entre elles étant de définir soi-même ces équations cartésiennes en détaillant une forme linéaire non nulle dont H est le noyau . Mais je pense que tu cherches une solution moins artificielle.

Voici une autre idée :
On munit |Rⁿ du produit scalaire cannonique <,>. Soit n un vecteur orthogonal à H (on doit pouvoir prouver son existence sans trop de difficulté). On étudie {v / <v,n> > 0 } et {v / <v,n> <0 }, on retrouve les deux composantes connexes. Note que c'est strictement la même chose qu'avant, puisque l'équation <v,n> = 0 est une équation cartésienne de H.

Encore une autre méthode : si phi est une forme linéaire non nulle telle que H=Ker(phi), étudier les ensembles {v/ phi(v) >0 } et {v / phi(v) <0} ... Devine ce qu'on retrouve... Et ce n'est pas un hasard ! En fait on peut montrer que pour toute forme linéaire phi de |Rⁿ, on peut trouve n dans |Rⁿ tel que Ker(phi) soit l'orthogonal de n, ce qui revient à appliquer la méthode précédente. On remarque aussi que l'équation phi(v)=0 est une équation cartésienne de H.

Finalement, les méthodes précédentes permettent d'utiliser la notion d'équation cartésienne d'un hyperplan sans la définir explicitement.

Voilà, j'espère avoir été assez clair.

Tronchenbiais

Soit H un hyperplan de R^n et f la forme linéaire associée
On poses C+={x appartient  à R^n / f(x) > 0}
et C-={x appartient   à R^n /  f(x) < 0}
donc E-H=C+ union C-
On va démontrer que C+ est connexe par arc
soit x, y, deux points de C+
soit  la fonction m : [0,1]--->C+ tel que m(t) = (1-t)x + ty.
f((1-t)x + ty) = (1-t)f(x) +  tf(y)>0,  donc la convexité de f est démontrée et  la fonction m(t) est bien définie puisque  (1-t) x + ty  appartient à C+. Il est facile de démontrer que m(t)  est continue  dans  [0,1] donc que  C+ est connexe par arc donc il est connexe.
même démonstration pour  C-.

Bonjour Saneba

il est parti il y a sept longues années…

on voit de ces trucs la nuit des fois lol