Soit (t) l'angle formé par l'axe des x et la tangente à la courbe en (x,y).
Donc tg(t) = dy/dx
Rayon de courbure : R = ds/dt = a+(s^2)/a
dt = a.ds/(a^2+s^2)  que l'on intègre :
t-t0 = arctg(s/a)  ou  s = a.tg(t-t0)
avec t0 = constante d'intégration.
Le calcul général de x(t) et y(t) est possible, mais un peu compliqué. Heureusement, une remarque permet de simplifier considérablement le travail :
L'équation R=a+(s^2)/a est une équation intrinsèque, c'est à dire indépendante de la position du système d'axes. Donc les solutions se déduisent les unes des autres par translation et/ou rotation.
On peut ainsi choisir n'importe quelle valeur de t0, cette valeur correspondant, en fait, à une rotation d'angle t0 du système d'axes. Alors, pourquoi ne pas choisir une position d'axes conduisant à des équations aussi simples que possible, par exemple t0 = 0.
Partons donc de s = a.tg(t) d'où : ds/dt = a/(cos(t))^2
ds^2 = dx^2+dy^2
(ds/dx)^2 = 1+(dy/dx)^2 = 1+(tg(t))^2 = 1/(cos(t))^2
par suite : dx/ds = cos(t)
dx/dt = (dx/ds)(ds/dt) = cos(t).a/(cos(t))^2 = a/cos(t)
De même :
(ds/dy)^2 = 1+(dx/dy)^2 = 1+(cotg(t))^2 = 1/(sin(t))^2
par suite : dy/ds = sin(t)
dy/dt = (dy/ds)(ds/dt) = sin(t).a/(cos(t))^2 = a.sin(t)/cos(t)^2
On intègre les expressions précédentes de dx/dt et dy/dy, ce qui donne :
x(t) = x0+(a/2) ln((1+sin(t))/(1-sin(t)))
y(t) = y0+a/cos(t)
x0 et y0 sont les constantes arbitraires d'intégrations qui correspondent aux translations.
Ceci donne les résultats sous forme paramétriques et pour plus de généralité, en remplacant t par (t-t0) correspondant aux rotations d'angle arbitraire.
Une fonction y(x) peut en être aisément déduite dans le cas où toutes ces constantes sont prises égales à 0 :
De l'équation x(t), on tire sin(t) en fonction de x. Tuis on calcule cos(t) = racine(1-sin(t)^2) en fonction de x. On reporte se résultat dans l'équation y(t) et on trouve finalement l'équation y(x) :
y(x) = -a (V2) ch(x)  avec (V2) = racine carrée de 2.
Evidemment, on peut supprimer le signe - : cela ne change pas la forme de la courbe et lui faire subir les translations et rotations que l'on veut.
Tout cela, ayant étéfait "à la va vite", serait à vérifier, mais ce ne doit pas être loin du bon résultat ...
De plus, il ne s'agit que d'une indication de méthode : il faudrait ajouter par-ci par là des valeurs absolues pour couvrir les cas d'expressions pouvant être aussi bien négatives que positives, alors que seulement ces dernières ont été considérées pour simplifier l'explication.

Bonjour JJa!

MILLE MERCI  pour cette réponse,j'ai maintenant compris comment il faut faire

Encore merci à vous et bon dimanche.