Bonjour,
Essaye d'abord avec 3 points I, J, K.

S'il existe, soit ABC un triangle avec I milieu de [AB], J milieu de [BC] et K milieu de [A].

Soient et les rotations de centre respectif I, J et K d'angle 180°.
La composée est donc une rotation d'angle 3*180  càd  une symétrie centrale. De plus A est invariant par cette transformation donc A est le centre de symétrie.
Prenons I.  . Or étant une rotation d'angle 360°, il s'agit d'une translation. Plus précisément, le théorème des milieux permet d'affirmer qu'il s'agit d'une translation de vecteur Or c'est aussi une symétrie centrale de centre A comme vu précédemment. En clair, pour trouver A un des côtés du triangle ABC, il suffit de choisir un des points I, J et K mettons I et d'effectuer la translation de centre I et de vecteur
C'est correct ?

Oui, c'est correct sauf le vocabulaire :
Une translation n'a pas de centre, seulement un vecteur. Translation de vecteur par exemple.
Il est plus simple de parler de symétrie centrale que de rotation d'angle 180°.
Une rotation d'angle 360°, c'est l'identité.
Par contre la composée de 2 symétries centrales de centres Q et R est bien une translation de vecteur .
Attention à l'ordre, c'est S_RoS_Q qui est la translation de vecteur

On peut se contenter d'utiliser S_KoS_J , qui est la translation de vecteur , pour justifier .
Avec I milieu de [AB] , on en déduit et en fonction de .

Tu peux aussi traiter 4 points.

Bonsoir,


Il faut donc maintenant raisonner sur la question de l'énoncé :

Citation :
si les points sont donnés, existe-t-il un polygone dont les points sont les milieux des côtés ?