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composition de fonctions, besoin d aide pour une démonstration
bonjour,
J'ai commencé mes études en Physique cette année à l'UCL en bac+1. En cours d'analyse on nous a soumis un atelier avec le problème suivant:
On donne deux fonctions: f(x)= 1-x et g(x)= 1/x.
on veut composer ces fonctions. ( ex: f(g(x)) ) . Après un certain nombre de compositions on se rend compte que le résultat obtenu est toujours une de ces six fonctions: 1) 1-x 2) 1/x 3) (x-1)/x 4) 1/(1-x) 5) x 6)-x/(1-x)
question: comment peut-on être certain d'avoir toutes les compositions possibles de f et g?
En fait, j'ai pensé qu'on pourrait le démontrer par l'absurde.Supposons qu'il existe une septième fonction h(x) qui serait la composition de toutes les fonctions. Dès lors, on a deux possibilités:- soit on prouve qu'on retombe
sur une des six fonctions
- soit on prouve que h(x) n'existe
pas.
Mon problème est que je ne sais pas si mon idée de démonstration est bonne ou pas. Si oui , je ne sais pas comment 'orchestrer' cette démonstration c'est à dire que je ne vois pas comment la mettre en forme.
merci d'avance pour l'aide,
salutions
Toute composition de f et g s'écrit sous la forme fi1gj1...fikgjk avec k entier et i,j deux k-uplets.
Faisons quelques calculs:
f=1-x
g=1/x
f²=x
g²=x
A ce stade on voit que toute composition de f et g est une puissance de fg composée éventuellement par g à droite et f à gauche. Nous allons montrer que fg est comme f et g d'ordre fini (i.e. une certainepuissance de fg est la fonction identité x->x)
fg=(x-1)/x
(fg)²=1-1/(1-1/x)=1-x/(x-1)=1/(1-x)
(fg)3=1/(1-(x-1)/x)=1/(1/x)=x
On a donc un nombre fini de compositions possible: f=gfgfg,g=fgfgf,fg=(gf)²,gf=(fg)²,fgf=gfg, et biensur l'élément neutre x->x = f²=g²=(fg)3=(gf)3
On a en fait calculé la structure du groupe engendré par f et g parmi les permutations de C (et cela correspond aussi à un sous-groupe de M2(C) fini engendré par deux matrices...)
bonjour babou14,
tout d'abord merci beaucoup de m'avoir répondu, mais j'ai encore une question.
Je n'ai pas très bien saisi la dernière partie de la démonstration.
Que représente le C et me M2(C) ?
Bonsoir;
Si on note:
il est facile de voir que est un groupe comme le montre sa table de composition.Et vu qu'un groupe est en particulier stable par composition on est certain qu'en composant deux quelconques de ses éléments on obtient toujours un élément du groupe.
Sauf erreurs bien entendu 
Cette 'table de composition' impose de faire 25 calculs et je ne suis pas convaincu que ça soit la meilleure résolution.
Le truc sur les matrices c'était juste une remarque pour dire que les fonctions qu'on considère sont des homographies, tu n'en as pas besoin pour résoudre l'exercice.
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