Bonsoir,

Les a, b, c de l'exercice B sont les racines du polynôme  P(x)=(x-a)(x-b)(x-c)  de l'exercice A.

Merci de ta réponse LeHibou, mais ça signifie donc que si l'on prend par exemple a=5, b=6 et c=9, la relation de l'exercice B est satisfaite, et P(x)=(x-5)(x-6)(x-9) existe, du coup ce qui est demandé à démontrer dans l'exercice B est faux non ? Je dois sans doute avoir mal compris un truc je pense...

Attention, dans A, a, b et c sont complexes. Dans B, ils sont réels > 0.

Je pense que tu devrais d'abord résoudre A.

Mais ce que tu peux déduire tout de suite de l'énoncé de B, c'est que l'un AU MOINS des trois nombres est > 1, démonstration par l'absurde immédiate.

L'exercice A doit te permettre de préciser que c'est EXACTEMENT un des trois nombres qui est > 1.

ok merci LeHibou je vais commencer par l'exercice A, il doit y avoir une particularité sur le polynôme que je ne vois pas encore, du coup quand je l'aurai résolu (si j'y arrive ) je reviendrai sur le forum pour précier si oui ou non j'ai compris et trouvé la subtilité. Sur ce bonne nuit^^

Bon re, voilà je pense avoir fini et je n'ai pas plus compris...Voilà ce que j'ai trouvé :
a) s = a+b+c  
u = ab + ac +bc
p= abc

b) a^3 = sa^2 - ua + p
b^3 = sb^2 -ub + p
c^3 = sc^2 - uc + p
En sommant le tout on obtient que a^3 + b^3 + c^3 -abc = sa^2 + sb^2 + sc^2 - su
et au final en factorisant par s et en remplaçant s et u par leur vrai valeur on obtient que
a^3 + b^3 + c^3 -abc  = (a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2-ab-ac-bc)

du coup je ne vois pas de raison pour que a, b et c ne soit pas possiblement tous supérieurs à 1 (en supposant qu'ils soient réels)...

a³+b³+c³-3abc = (a+b+c)(a²+b²+c²-ab-ac-bc) oui, elle est bonne cette formule.

Oui bonne remarque Glapion merci, même si je ne vois toujours pas pourquoi il ne peux pas y avoir 3 ou 2 réels parmi a, b et c qui soit soit >1 (car par essaie je trouve le contraire), je vais quand même essayer de le démontrer....
Bon, j'avais pour idée de faire un étude de signe de P(x), quand x vaut 1, ainsi selon le signe du polynôme on peux savoir si il y a un nombre pairs ou impairs de réels parmi a, b et c qui sont >1. Pour ce faire, on pourrait essayer de faire apparaître l'inéquations proposer dans l'exercice B mais je ne vois pas trop comment faire...
Voici quand même les traces de recherches :
P(1)=1-(a+b+c)+(ab+bc+ac)-abc et après j'aurais aimé factoriser cela par abc pour voir apparaître (1/a)+(1/b)+(1/c) mais après je bloque....
Si quelqu'un a une idée je veux bien qu'il l'a propose merci

Cette égalité est vraie quelque soit les valeurs de a;b;c réelles ou complexes.

Sinon pour factoriser 1-(a+b+c)+(ab+bc+ac)-abc = -(a-1)(b-1)(c-1)

oui pour la factorisation c 'est normale puisque P(x)=(x-a)(x-b)(x-c), ce qu'il faudrait c'est faire apparaître quelque chose comme ((1/a)+(1/b)+(1/c)-a-b-c) car on connaît le signe de ça grâce à l'inéquation de l ex B

Relis le message de 15-08-18 à 00:16 de LeHibou, il suggère une démonstration par l'absurde.
a+b+c > 1/a + 1/b + 1/c

utilise le fait que x-1/x est positif si x>1 et négatif si x est entre 0 et 1

ok merci Glapion je vais essayer ça

Et pour aller un peu plus loin, on a vu  que au moins un des a, b, c réels doit être > 1. Pour trouver le résultat demandé, qui est que un et un seul des a, b, c doit être > 1, on peut supposer que au moins deux le sont, par exemple, a > 1 et b > 1 et essayer d'aboutir à une contradiction.