Bonjour ,

on résout par la méthode de variation des constantes

on trouve (je crois) y = x^2/5 + c/x³ (et non pas y = x^5/5 + c/x³)

Peut être un peu différemment que ce qu'on t'a appris:

A partir de:

y' + 3*y/x =x  (1)

Posons:
y = u(x).v(x)   (2)

y' = dy/dx = u.dv/dx + v.du/dx

(1) -> u.dv/dx + v.du/dx + 3.u.v/x = x

u(dv/dx + 3v/x) + v.du/dx = x  (3)

On va déterminer v pour avoir dv/dx + 3v/x = 0

dv/dx + 3v/x = 0
dv/dx = - 3v/x
dv/v = -3.dx/x
en intégrant, on a:
ln(v) = -3ln(x)
ln(v) = -ln(x³)
ln(v) = ln(1/x³)
v = 1/x³

Donc avec v = 1/x³, on a dv/dx + 3v/x = 0 et (3) devient:
u*0 + (1/x³).du/dx = x
(1/x³).du/dx = x
du/dx = x^4
du = x^4.dx
u = (x^5)/5 + C

Remis dans (2) ->
y = u(x).v(x)
y = [(x^5)/5 + C].(1/x³)
y = (x²/5) + (C/x³)

Et voila.
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J'ai une petite remarque à faire.
Au début de l'exercice, tu avais fait:

x*y' + 3*y = x²
(x*y') / x + 3*y/x = x²/x

Ceci n'est permis que si x est différent de 0, donc tout ce qui suivait n'est valable que si x est différent de 0.

Il reste donc à traiter le cas particulier de x = 0.
L'équation de départ pour x = 0 devient: 0 + 3y = 0 et donc le couple (0 ; 0) est une solution singulière de l'équation xy' + 3y = x².
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Sauf distraction.  

tu as raisons gianpf, je m'étais trompé lorsque j'ai écris le tout sur le forum