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Niveau Licence Maths 1e ann
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Concavité/Convexité Fonction à plusieurs variables

Posté par
Ktalan67
01-05-10 à 18:22

Bonjour,

Je me demandais comment montrer qu'une fonction est concave/convexe si elle dépend de 2 variables?

Par exemple :

1) J'ai la fonction f(x,y)=400-3x[/sup]-4x+2xy-5y[sup]+48y

J'ai dérivé deux fois... Une fois par rapport à x et l'autre par rapport à y... Petit hic, je tombe sur une constante positive... Alors que j'aurai du tomber sur une fonction concave...




2) Autrement, on me demande de maximiser cette fonction... Quoi?Comment? Je ne vois pas du tout comment faire et je n'ai rien trouvé sur internet qui m'explique une méthode



Merci d'avance!

Posté par
Ktalan67
re : Concavité/Convexité Fonction à plusieurs variables 01-05-10 à 18:23

La fonction est f(x,y)=400-3x^2-4x+2xy-5y^2+48y


Désolé

Posté par
infophile
re : Concavité/Convexité Fonction à plusieurs variables 01-05-10 à 18:37

Va voir le Devoir spé n°13 sur mon site, tu auras la définition de la convexité pour des fonctions de plusieurs variables et des conditions pour avoir des extrema.

Posté par
kaiser Moderateur
re : Concavité/Convexité Fonction à plusieurs variables 01-05-10 à 18:43

Bonjour Ktalan67

Pour montrer qu'une fonction de deux variables (ou plus) est convexe ou concave, tu as du voir qu'ilm fallait s'intéresser à la hessienne et pas seulement à la dérivée partielle seconde dont tu parles.

Pour la deuxième question, il s'agit de déterminer le maximum d'une fonction. Plus généralement, si la fonction admet un extremum local en un point (a,b), que doivent vérifier les dérivées partielles en ce point ?

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateur
re : Concavité/Convexité Fonction à plusieurs variables 01-05-10 à 18:43

oulah, en retard !!!

Salut Kévin !

Posté par
Ktalan67
re : Concavité/Convexité Fonction à plusieurs variables 01-05-10 à 18:46

Merci mais je t'avoues que j'ai rien compris... :O

Posté par
infophile
re : Concavité/Convexité Fonction à plusieurs variables 01-05-10 à 18:47

Coucou Kaiser !

Ca faisait longtemps ! Ton boulot de prof te plaît alors ?

Posté par
kaiser Moderateur
re : Concavité/Convexité Fonction à plusieurs variables 01-05-10 à 18:50

Ktalan67 > tu n'as jamais vu ce qu'était une matrice hessienne ?
Kévin> eh ben, c'est pas facile, facile, mais bon, on s'accroche !

Posté par
Ktalan67
re : Concavité/Convexité Fonction à plusieurs variables 01-05-10 à 18:58

Si si Kaiser j'ai déjà vu le système de la matrice hessienne mais c'était pour savoir de quel nature étaient les points critiques... Après je ne vois pas en quoi cela m'aide pour determiner si cette fonction est convexe/concave?

Posté par
kaiser Moderateur
re : Concavité/Convexité Fonction à plusieurs variables 01-05-10 à 19:10

Pour montrer qu'une fonction de classe C2 est convexe, il faut montrer (et c'est équivalent) que la matrice hessienne en n'importe quel point est positive et pour montrer qu'elle est concave, il faut montrer que cette matrice hessienne est tout le temps négative.
Cela va te permettre de conclure quant à la nature des points critiques : en effet, pour une fonction convexe ou concave de classe C2, un point critique est un extremum global (maximum pour une fonction concave et minimum pour une fonction convexe).

Kaiser

Posté par
Ktalan67
re : Concavité/Convexité Fonction à plusieurs variables 01-05-10 à 19:35

Alors dans l'exemple de ma fonction :


j'ai f(x,y) = 400 - 3x^2 - 4x + 2xy - 5y^2 + 48y


J'utilise la méthode de la matrice hessienne et je tombe sur :

( -6  2
   2 -10 )  = 56    ... ?

Posté par
kaiser Moderateur
re : Concavité/Convexité Fonction à plusieurs variables 01-05-10 à 19:44

Une matrice n'est pas égale à un nombre, à moins que tu aies voulu calculer le déterminant.
C'est une matrice réelle et donc on sait que ses valeurs propres sont réelles. Pour montrer, que cette matrice est négative (elle est même définie négative), que faut-il montrer sur ces valeurs propres ?

Kaiser

Posté par
Ktalan67
re : Concavité/Convexité Fonction à plusieurs variables 01-05-10 à 19:55

J'ai vraiment l'impression d'avoir loupé un gros chapitre la...Je pense pas savoir comment faire...

Posté par
kaiser Moderateur
re : Concavité/Convexité Fonction à plusieurs variables 01-05-10 à 19:59

Pour ça, il faut revoir le cours d'algèbre sur les matrices symétriques.
Pour montrer qu'une matrice symétrique est négative, il faut montrer que ses valeurs propres sont négatives.

Kaiser



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