Bonjour,
Je me demandais comment montrer qu'une fonction est concave/convexe si elle dépend de 2 variables?
Par exemple :
1) J'ai la fonction f(x,y)=400-3x[/sup]-4x+2xy-5y[sup]+48y
J'ai dérivé deux fois... Une fois par rapport à x et l'autre par rapport à y... Petit hic, je tombe sur une constante positive... Alors que j'aurai du tomber sur une fonction concave...
2) Autrement, on me demande de maximiser cette fonction... Quoi?Comment? Je ne vois pas du tout comment faire et je n'ai rien trouvé sur internet qui m'explique une méthode
Merci d'avance!
Va voir le Devoir spé n°13 sur mon site, tu auras la définition de la convexité pour des fonctions de plusieurs variables et des conditions pour avoir des extrema.
Bonjour Ktalan67
Pour montrer qu'une fonction de deux variables (ou plus) est convexe ou concave, tu as du voir qu'ilm fallait s'intéresser à la hessienne et pas seulement à la dérivée partielle seconde dont tu parles.
Pour la deuxième question, il s'agit de déterminer le maximum d'une fonction. Plus généralement, si la fonction admet un extremum local en un point (a,b), que doivent vérifier les dérivées partielles en ce point ?
Kaiser
Ktalan67 > tu n'as jamais vu ce qu'était une matrice hessienne ?
Kévin> eh ben, c'est pas facile, facile, mais bon, on s'accroche !
Si si Kaiser j'ai déjà vu le système de la matrice hessienne mais c'était pour savoir de quel nature étaient les points critiques... Après je ne vois pas en quoi cela m'aide pour determiner si cette fonction est convexe/concave?
Pour montrer qu'une fonction de classe C2 est convexe, il faut montrer (et c'est équivalent) que la matrice hessienne en n'importe quel point est positive et pour montrer qu'elle est concave, il faut montrer que cette matrice hessienne est tout le temps négative.
Cela va te permettre de conclure quant à la nature des points critiques : en effet, pour une fonction convexe ou concave de classe C2, un point critique est un extremum global (maximum pour une fonction concave et minimum pour une fonction convexe).
Kaiser
Alors dans l'exemple de ma fonction :
j'ai f(x,y) = 400 - 3x^2 - 4x + 2xy - 5y^2 + 48y
J'utilise la méthode de la matrice hessienne et je tombe sur :
( -6 2
2 -10 ) = 56 ... ?
Une matrice n'est pas égale à un nombre, à moins que tu aies voulu calculer le déterminant.
C'est une matrice réelle et donc on sait que ses valeurs propres sont réelles. Pour montrer, que cette matrice est négative (elle est même définie négative), que faut-il montrer sur ces valeurs propres ?
Kaiser
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