Niveau Maths sup

Condition de convergence

Posté par
powermax 24-10-22 à 11:15

Bonjour à tous. J'ai un soucis avec une exercice.

Soit ( $e_n$ ) une famille orthonormale dans un espace de Hilbert H. Soit ( $a_n$ ) une suite de nombres réels ou complexes, n un entier naturel.
Il faut montrer que la série $\sum_{n=1}^{\infty }a_ne_n$ est convergente dans H si et seulement si $\sum_{n=1}^{\infty}{|a_n|²} < + \infty$ .

Je n'arrive curieusement à faire aucun sens.

Pour le deuxième sens :

$|\sum_{n=1}^{\infty}{a_ne_n}| \leq \sum_{n=1}^{\infty}{|a_ne_n|} \leq {(\sum_{n=1}^{\infty}{|a_n|²})^½} (\sum_{n=1}^{\infty}|e_n|²)^½}$
Et je sais pas trop comment continuer

Besoin d'aide svp !

Posté par re : Condition de convergence 24-10-22 à 11:45

C'est l'idée, mais tu confonds normes et valeurs absolues, et le $+\infty$ à gauche de ton inégalité sous-entend que les $\sum a_ne_n$ CV, ce qui est un problème, car tu pars de ce que tu veux démontrer...

Tu peux appliquer Cauchy-Schwarz jusqu'au rang N, et seulement après, regarder si tu peux faire tendre N vers l'infini.

A la place, je te propose de poser $S_N = \sum_{n=1}^N a_ne_n$ pour tout N, et de regarder si $(S_N)$ est de Cauchy, dans l'espace complet qu'est H.

Posté par re : Condition de convergence 25-10-22 à 09:39

J'ai essayé d'écrire mais je n'arrive pas à prouver que cette suite est de Cauchy.
Désolé pour le retour tardif

Posté par re : Condition de convergence 25-10-22 à 13:05

Soient p et N deux entiers naturels plsu grands que 1. Que vaut $S_{N+p} - S_{N}$ ?

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