Bonjour à tous je bloque sur un exo d'espaces vectoriel normés.
On se donne une application N : E+
telle que :
(i) N(x) = 0 x = 0
(ii) E, N(
x)=|
|N(x)
et on considère B = { x de E tq N(x)1}
on veut montrer l'équivalence : N est une norme ssi B convexe
- pour le sens direct si je prends x,y dans B
alors je considère t dans [0,1] et je pose z=tx + (1-t)y dans ce cas
en utilisant l'inégalité triangulaire j'obtient que N(z)1 donc z est dans B d'ou la convexité de B
- je bloque pour l'autre sens, je suppose B convexe
et j'essaye de montre l'inégalité triangulaire, pour tout x,y de E
N(x+y) N(x) + N(y)
Je vois pas comment utiliser l'hypothèse de convexité de B
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