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Niveau Licence Maths 1e ann
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Condition sur une norme

Posté par
FaridG
12-10-14 à 10:24

Bonjour à tous je bloque sur un exo d'espaces vectoriel normés.

On se donne une application N : E+

telle que :

(i) N(x) = 0 x = 0
(ii) E, N(x)=||N(x)

et on considère B = { x de E tq N(x)1}

on veut montrer l'équivalence : N est une norme ssi B convexe

- pour le sens direct si je prends x,y dans B
alors je considère t dans [0,1] et je pose z=tx + (1-t)y dans ce cas
en utilisant l'inégalité triangulaire j'obtient que N(z)1 donc z est dans B d'ou la convexité de B


- je bloque pour l'autre sens, je suppose B convexe
et j'essaye de montre l'inégalité triangulaire,  pour tout x,y de E

N(x+y) N(x) + N(y)

Je vois pas comment utiliser l'hypothèse de convexité de B

Posté par
carpediem
re : Condition sur une norme 12-10-14 à 12:49

salut

soient x et y dans E

en divisant x et y par N(x + y) alors on peut choisir x et y dans B

Posté par
FaridG
re : Condition sur une norme 12-10-14 à 19:21

ah comment le montrer ?

que la norme de x/N(x+y) est plus petite que 1?

Posté par
kybjm
re : Condition sur une norme 12-10-14 à 19:37

Soient x et y non tous les 2 nuls et a , b tels que N(x).a = x et N(y).b = y .  
a et b sont dans B et si on pose t = N(x)/(N(x) + N(y)) on a : t.a + (1-t).b B donc N(t.a + (1-t).b) 1
....
  



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