Bonsoir.

Écris explicitement M sous forme factorisée, et ensuite N en substituant X².
On a donc : , où sont les racines de M.

A quelle condition sur les racines de sont elles simples ?
Si , à quelle condition sur les polynômes et ont-ils une racine en commun ?

Conclus.

Merci pour cette réponse plus que rapide !

Ok pour N.
X²-z a des racines simples ssi z est de multiplicité égale à 1. En gros, M'(z)0

Mais de là  ... Je vois pas trop.
On a fait un seul exo sur la multiplicité type : montrer que c'est de multiplicité 3 ...

Merci

euh ... Je ne suis pas d'accord, j'ai mon cours sous les yeux et la page de wikipédia et il est bien dit qu'un polynome admet des racines simples ssi la racine a une multiplicité d'ordre EGALE à 1 : http://fr.wikipedia.org/wiki/Racine_d'un_polynôme
donc M'(0) différent de 0 si non c'est d'ordre au moins égale à 1.

Les racines de X^2-z(i) sont +sqrt(z(i)) ou - sqrt(z(i)) avec z(i) positif.

salut

dans C tout nombre est le carré d'un autre....

X²-z a donc deux racines complexes conjuguées et deux racines réelles opposées si z>0....

Oui, on est OK là dessus, mais les racines de ne sont pas des racines de M, donc je ne vois pas ce que la dérivée de M vient faire là ...

Ok pour les racines de . Quand ces deux nombres sont-ils différents ?

Vois-tu où je veux en venir ?

Enfin, pas vraiment OK en fait, comment tu définis la racine d'un nombre complexe ? ...

_{bonsoir Arkhnor
je crotais que tu étais parti
je te laisse continuer...}

_{Bonsoir carpedien
Je ne vais pas tarder à partir de toute manière, tu peux prendre la relève si tu le souhaites.}

Merci à vous deux !

Ok pour les 4 racines.
Mais le reste est trop subtile est précis pour moi
Je ne sais pas définir la racine d'un nombre complexe, ce n'est pas dans mon cours.

Non vraiment je sais pas ...

Bonjour à tous,

On cherche à quelle condition N(X) = M(X²) et N'(X) = 2XM'(X²) sont premiers entre eux.
Comme M(X) et M'(X) sont premiers entre eux, puisque M est scindé à racines simples, tout diviseur commun à N(X) et N'(X) est premier avec M'(X²), donc divise X.
La condition cherchée est donc que X ne divise pas M(X²), c'est-à-dire que 0 ne soit pas racine de M.

Merci à vous tous !

Je ne sait pas si j'ai tout compris mais les racines de X^2-z_i et X^2-z_j sont différentes si i diff de j et -j ?

Mais qu'es ce i et j ? des indices ?

C'est vraiment dure à comprendre cela ... en plus par internet ...


@ frenicle ; pour quoi N et n' doivent ils etre premiers entre eux ?


merci à vous tous !

Supposons que N ait une racine multiple, et soit a cette racine.
N(a) = 0 et N'(a) = 0, donc N et N' sont tous deux divisibles par (X - a) et ne peuvent être premiers entre eux.

Réciproquement, supposons que N ait toutes ses racines simples.
Soit Q(X) un diviseur commun de N(X) et N'(X).
Si Q n'est pas constant, il a une racine dans , qui est donc une racine commune à N et N', contrairement à l'hypothèse.
Donc Q est constant et N et N' sont premiers entre eux.