salut

en gros depuis un point intérieur x de X que tu partes dans n'importe quelle direction tu restes dans X

par contre si x appartient à l'adhérence de X (en particulier son bord) il n'est pas sur qu'en partant dans toutes les directions tu restes dans X

les (demi-)directions dans lesquelles tu peux bouger en restant dans X est le cône tangent de x dans X ...

Le cône tangent est la réunion des limites de droites (xy) pour y tendant vers x dans X. C'est en particulier un cône de sommet x (réunion de droites passant par x).

Pour la propriété que tu cites, il suffit de voir qu'une petite boule de centre x est contenue dans X

En fait, la condition impose de remplacer "droites" par "demi-droites d'extrémité x" dans ce que j'écris.

Merci beaucoup à vous deux pour vos réponses, carpediem et GaBuZoMeu.
Je comprends plus ou moins ce que vous voulez dire à deux choses près:

(i) la condition x_nx signifie qu'on est dans l'adhérence de X, OK, mais je n'arrive pas à comprendre la deuxième limite (ni à voir vraiment le rapport avec l'interprétation géométrique que vous me donnez).

(ii) auriez-vous un graphique pertinent (en deux ou trois dimensions) illustrant ce concept? J'ai cherché sur google image mais je ne suis pas très sûr d'interpréter correctement le graphique.

Merci encore!

La deuxième limite dit que est la direction limite de la demi-droite .
Les images que tu peux trouver de cone tangent à une sphère ne correspondent pas du tout à la présente situation. Tu as un dessin correct sur la page wikipedia en anglais :

Je pense avoir compris!
Juste histoire de vérifier (et me rassurer):
Le cône tangent T(X,x) est la réunion de toutes les demi-droites [x,x_n) dont la direction est dans X (je vous paraphrase un peu tous les deux).
Sur l'exemple de wikipedia, ce sont les deux droites bleues (ou quatre demi-droites bleues plutôt?)
À partir du moment où la direction est dans X, toute la demi-droite dirigée par cette direction est dans le cône, c'est bien ça (donc un point du cône tangent n'est pas forcément dans X).

Que veux tu dire par "la direction est dans X" ? Sur le dessin par exemple, l'intersection de l'ensemble avec son cône tangent à l'origine est réduit à l'origine : dès qu'on bouge sur le cône tangent à partir de l'origine, on sort de X.

oui donc dans le plan ce sont toutes les demi-tangentes .....

Dans l'exemple, en un point lisse x de la courbe, le cône tangent est simplement la tangente en x. Et on a toujours que x est un point isolé d'intersection de la courbe avec sa tangente.

La définition montre que l'origine appartient toujours au cône tangent (prendre u=0 et pour tout n). Le cône tangent est réduit à l'origine si et seulement si x est isolé dans X.

Je suis d'accord avec vous, d'après la définition, 0 appartient toujours au cône tangent. Cela dit, d'après ce que j'ai compris graphiquement, je ne vois pas pourquoi. Dans l'exemple que vous donnez, vous dites "en un point lisse x de la courbe, le cône tangent est simplement la tangente en x", or cette tangente (qui est le cône tangent) ne passe pas forcément par 0, où est donc mon erreur?

Un autre exemple, je devais, en exercice, trouver le cône tangent au point a=(2,1) de l'ensemble X={(x,y)² / 0x2, 0yx⁴, y(1-x)²}. J'ai tracé l'ensemble X (cf. image ci-dessous) et le cône tangent au point a d'après ce que j'ai compris, et, là encore, l'origine n'appartient pas à ce cône, je ne comprends pas pourquoi.

Mon image:  

Merci encore pour votre aide GaBuZoMeu,

Bonne soirée à vous,

Wacker.

C'est l'ambiguïté habituelle : la tangente à la courbe en un point est-elle une droite vectorielle ou la droite affine dirigée par cette droite vectorielle passant par ? Quand on dessine on a plutôt tendance à dessiner la tangente comme passant par , même si elle est en fait définie comme droite vectorielle. C'est le même problème ici avec le cône tangent : est il de sommet l'origine ou de sommet le point ? La définition dit qu'il est de sommet l'origine, mais c'est plus parlant de le dessiner avec son sommet en (comme tu l'as fait dans ton dessin).

Donc, en réalité, sur mon dessin, il faudrait que je translate le cône vers l'origine?
Je dois avouer que cette ambiguïté dont vous parlez me rend assez confus.
Dans l'exemple de mon ensemble X, analytiquement, comment pourrais-je déterminer le cône tangent en ? Car dans ma correction, le professeur dit qu'en passant à la limite dans la définition, on trouve: T(X,a)={(x,y)²/x0,y2x}. Quand je dessine cet ensemble, cela ressemble fortement au cône que j'ai dessiné et qu'on aurait translaté vers l'origine, mais je ne comprends pas comment il trouve cet ensemble à partir de la définition.

Merci GaBuZoMeu, bonne journée à vous,

Wacker.

Si tu dessines le cône tangent tel qu'il est défini alors oui, son sommet est à l'origine. Mais, je me répète, c'est plus parlant de le dessiner translaté au point .

Pour la détermination analytique, il suffit de réaliser que le bord du domaine au point est constitué d'une demi-droite verticale vers le bas, et du morceau de la courbe avec , et que la pente de la tangente à cette courbe en est 2.

Merci pour tes explications très claires.
Cela dit, vous ne déterminez pas le cône tangent à partir de la définition (avec les suites et le passage à la limite). Or, dans des cas un peu plus compliqués, je ne pense pas qu'on puisse raisonner comme on le fait pour des cas simples comme celui-ci.

Il faut voir au cas par cas comment est donné l'ensemble X. Quand il est donné comme ici par des équations et inégalités polynomiales, le cône tangent se décrit lui aussi par des équations et inégalités polynomiales.

Bonjour! Je remonte le sujet, je voudrai savoir s'il y a une formule pour calculer le cône tangent de manière générale? Je suis face à un problème où mon convexe est défini de manière implicite.