Bonjour,

Tu indiques une excellente piste pour la question 1
Appelons M le milieu de BC

Que sais-tu des médianes issues de l'angle droit dans les triangles rectangles ?

je ne vois pas quel angle droit ....  

Un angle droit en B' dans le triangle rectangle BB'C

Un angle droit en C' dans le triangle rectangle BC'C

une médiane passe par le milieu du coté opposé de l'angle, donc la médiane de l'angle droit passe par le milieu de BC (pour les 2 triangle) non ?

Aucun doute. Ces deux médianes passent par le point que j'ai appelé M

Mais il faut en dire plus... (une propriété, ou un théorème...)

leur point de d'intersection est le centre de gravité

Le centre de gravité est le point d'intersection des (trois) médianes d'un même triangle.
Mais ici les triangles sont différents.

Il faut que tu cherches dans tes collections de propriétés et théorèmes une propriété (un théorème) concernant la médiane issue de l'angle droit dans un triangle rectangle.

Le centre de gravité se trouve aux 2/3 de chaque médiane en partant du sommet.
ou
Le centre de gravité se trouve aux 1/3 de chaque médiane en partant du milieu d'un côté.

Exact... mais on ne s'intéresse pas dans cet exercice aux centres de gravité.

Propriété valable seulement dans un triangle rectangle et pour la médiane issue de l'angle droit...

(impossible de faire de la géométrie sans connaître propriétés et théorèmes...)

je l'a trouve pas  

Que vaut la longueur de la médiane issue de l'angle droit dans un triangle rectangle ?

Dans un triangle rectangle, la médiane issue du sommet de l'angle droit mesure la moitié de l'hypoténuse.

Ah ! Voilà !

Alors maintenant la suite devrait être très facile...

Je ne vois pas en quoi se peut m'aider pour trouver le milieu de BC, ni comment rédigé.....

Quelle est la longeur de B'M ?

Quelle est la longueur de C'M ?

Conclusion ?

j'ai essayer avec une camarade de classe de rédigé le 1 :

On trace la médiane da BC passant pas C'      
puis la médiane de BC passant par B'.      
Elles sont relative au même côté BC et elles sont dans des triangles rectangle.
Donc J (milieu de BC aukel tu peux donné nimporte kel lettre) est équidistant de C'B'.      
Or on sait que i, qui est sur la médiatrice, est aussi équidistant de C' et de B'.      
Donc J est sur la médiatrice de B'C'.      

Oui, je tente une autre rédaction :

Soit M le milieu de [BC]
La longeur de la médiane B'M dans le triangle BB'C rectangle en B' vaut la moitié de l'hypoténuse BC
La longeur de la médiane C'M dans le triangle BC'C rectangle en C' vaut la moitié de l'hypoténuse BC
Donc le point M est équidistant des points B' et C'
en conséquence M est sur la médiatrice de [B'C']

et il ne faut pas démontrer que M est le milieu de BC avant de ce lancer ?

et pour la question 2 on peut en  dire quoi??

(BC') et (B'C) sont perpendiculaires aux côtés [AB]et[AC] du triangle ABC.
Ce sont donc 2 hauteurs du triangle ABC. Or elles sont concourantes dans tout triangle. Leur intersection est donc l'orthocentre du triangle ABC.