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congruence

Posté par
robby3 06-10-23 à 18:43

Bonjour à tous,

Voici le sujet sur lequel je bute:

"Montrer que pour tout entier n premier à 63, on a n^6 1 [63] "

Voici ce que je pensais faire :

Comme 63 = 7 x 9 et que 7 et 9 sont premiers entre eux, le problème revient à montrer que n^6 1 [7]  et n^6 1 [9].
D'après le petit théorème de Fermat, comme 7 est premier on a n^7n[7] donc n^61 [7].
Par contre, je n'arrive pas à montrer que n^6 1 [9].

Est-ce que mon raisonnement est bon ? Est-ce que vous pourriez m'aiguiller pour la suite s'il vous plait ?

Merci d'avance de vos réponses.

Posté par
carpediemre : congruence 06-10-23 à 18:51

salut

il y a de l'idée :

si n est premier avec 63 alors il est premier avec 7 et avec 9 tout simplement

si n est premier avec 9 alors il est premier avec 3 qui lui est premier ...

sinon on se remonte les manches et on montre que tout entier premier avec 9 vérifie n^6 \equiv 1  [9] (avec un tableau de valeurs par exemple)

Posté par
robby3re : congruence 07-10-23 à 10:11

Bonjour Carpediem,

Est-ce que c'est correct de dire que comme 9=3^2  montrer que n^6\equiv 1[9] revient à montrer que n^6\equiv 1[3^2]
et donc que n^6\equiv1[3] ?

Or comme 3 est premier de nouveau grâce à petit Fermat on a bien que n^7\equiv n[3]\Rightarrow n^6\equiv1[3] ?

Posté par
carpediemre : congruence 07-10-23 à 10:29

première proposition : ça me semble à détailler et c'est préférable de le dire ne français.

deuxième proposition : le théorème de Fermat ne dit pas ce que tu à écrit avec 3 : ce n'est pas 7

Posté par
robby3re : congruence 07-10-23 à 11:08

Ah oui, je me suis emballé avec Petit Fermat...

Par contre il dit bien que n^3\equiv n[3]  donc j'ai bien n^2\equiv 1 [3] puis (n^2)^3\equiv 1[3]
...Hum, je ne sais pas comment m'en sortir avec ça...


Si n est premier avec 9 alors n fait parti de l'ensemble {1; 2; 4; 5; 7 ; 8} sauf erreurs de ma part.
J'ai regardé les puissances de 6 de ces nombres:
{1; 64; 4096; 15 625; 117 649; 162 144} et j'ai regardé le pgcd avec 9, on a bien qu'il est égal à 1 pour chacun d'eux d'où le résultat.
Cette méthode fonctionne mais ne me satisfait pas, il doit y avoir un autre moyen mais ça m'échappe...

Posté par
carpediemre : congruence 07-10-23 à 12:05

la deuxième forme du théorème suffit !!

je te l'ai dit : en s'exprimant en français :

carpediem @ 06-10-2023 à 18:51

si n est premier avec 9 alors il est premier avec 3 qui lui est premier ...


sinon il suffit d'utiliser le théorème de Bachet-Bezout :

si n est premier avec 9 alors il existe des entiers u et v tels que nu + 9v = 1 <=> nu + 3(3v) = 1 donc n est premier avec 3

si n est premier avec 3 alors il est premier avec toute puissance de 3 car si d divise n et 3 alors d divise n et 3k

car si un entier d divise un entier m alors il divise tous ses multiples donc toutes ses puissances ...


un test exhaustif est aussi une preuve !!

Posté par
robby3re : congruence 07-10-23 à 14:54

Merci Carpediem.

Est-ce que j'aurai pu faire comme ci-dessous ?

Soit n un nombre premier à 63.
D'après Bezout, il existe des entiers u et v tels que:
nu + 63v = 1
nu + 7(9v)=1
donc n est premier avec 7.

7 et 9 jouant des rôles symétriques, n est premier aussi avec 9.
Si n est premier avec 7 alors n^6 est premier avec 7.
Il en va de même pour 9.
Ainsi n^6 est premier avec 63 car 7 et 9 sont premiers entre eux (est-ce bien là qu'intervient le fait que 7 et 9 soient premiers entre eux ?).

Merci encore!

Par contre, à quel moment ai-je besoin

Posté par
Sylvieg Moderateurre : congruence 07-10-23 à 14:58

Bonjour,
Je me permets de proposer une autre piste pour n6 1 [9].
C'est équivalent à (n3+1)(n3-1) multiple de 9.

Si n est premier avec 9 alors n est de la forme
3k+1 ou 3k-1.
Développer (3k+1)3 et (3k-1)3 fait apparaître pas mal de termes multiples de 9.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : congruence 07-10-23 à 15:00

Messages croisés robby3
Je laisse carpediem répondre à ton message.

Posté par
robby3re : congruence 07-10-23 à 15:30

Bonjour Sylvieg,
Si n est premier avec 9 alors il est premier avec 3 donc de la forme 3k+1 ou 3k-1 (k dans Z) et effectivement on a

(3k+1)^3=27k^3+27k^2+9k+1\equiv 1[9]


et on a aussi (3k-1)^3=27k^3-27k^2+9k-1\equiv 1[9]

Donc le produit (n^3+1)(n^3-1)=n^6\equiv 1[9]


Donc si n est premier avec 9 alors n^6 l'est aussi.

Merci Sylvieg

Posté par
Sylvieg Moderateurre : congruence 07-10-23 à 15:50

Tu es allé un peut trop vite. Il y a un truc qui cloche :

(3k-1)^3=27k^3-27k^2+9k-1\equiv 1[9]

Posté par
carpediemre : congruence 07-10-23 à 17:06

robby3 @ 07-10-2023 à 14:54

Soit n un nombre premier à 63.
D'après Bezout, il existe des entiers u et v tels que:
nu + 63v = 1
nu + 7(9v)=1
donc n est premier avec 7.

7 et 9 jouant des rôles symétriques, n est premier aussi avec 9.

et même nu + 3(21u) = 1 donc n est premier avec 3

Par contre, à quel moment ai-je besoin de quoi ?


quant à l'idée de Sylvieg on peut même poursuivre ainsi :

n^6 - 1 = (n^3 - 1)(n^3 + 1) = (n - 1)(n^2 + n + 1) (n + 1)(n^2 - n + 1) = (n - 1)(n + 1) [(n - 1)^2 + 3n][(n + 1)^2 - 3n] \equiv (n - 1)^3(n + 1)^3  [9] \equiv (n^2 - 1)^3  [9]

car tous les autres produits sont multiples de 9 (le produit de trois entiers consécutifs est multiple de 3)

or n est premier avec 3 donc n^2 - 1 \equiv 0  [3 ] \Longrightarrow (n^2 - 1)^3 \equiv 0  [9]

Posté par
robby3re : congruence 07-10-23 à 18:06

Sylvieg @ 07-10-2023 à 15:50

Tu es allé un peut trop vite. Il y a un truc qui cloche :

(3k-1)^3=27k^3-27k^2+9k-1\equiv 1[9]


Ah bah oui...
C'est (3k-1)^3=27k^3-27k^2+9k-1\equiv -1[9]
Du coup, le produit des deux est congru à -1 modulo 9 et pour le coup, je me retrouve bloqué ...
Sylvieg > je continue comment ?


Carpediem> Merci, j'avais la première égalité mais je ne n'ai pas su m'en sortir avec ça.
Mon besoin, c'était que je me demandais à quels moment j'utilisais le fait que 7 et 9 soient premiers entre eux, mais j'ai trouvé et j'ai oublié d'enlever ma question!

Merci à voux deux !

Posté par
Sylvieg Moderateurre : congruence 07-10-23 à 18:18

Désolée, je ne suis plus disponible avant demain.

Posté par
robby3re : congruence 08-10-23 à 14:58

Sylvieg > C'est bon, je crois avoir compris

n est premier avec 9 donc n est premier avec 3 donc est de la forme
n=(3k+1) ou bien n=(3k-1)


Ainsi n^3=(3k+1)^3\equiv 1[9] ou bien n^3=(3k-1)^3\equiv -1[9]

Et ainsi quand on regarde (n^3+1) on a alors
- n^3+1\equiv 2[9] si n^3=(3k+1)^3\equiv 1[9]
- n^3+1\equiv 0[9] si n^3=(3k-1)^3\equiv -1[9]
De même on a:
- n^3-1\equiv 0[9] si n^3=(3k+1)^3\equiv 1[9]
- n^3-1\equiv -2[9] si n^3=(3k-1)^3\equiv -1[9]
De sorte que le produit (n^3+1)(n^3-1)\equiv0[9] et donc en remontant, cela montre bien que n^6-1\equiv 0[9] \Leftrightarrow n^6\equiv 1[9] d'où le résultat.

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