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Congruence de 10^(10^n) mod 7

Posté par
Flewer 06-09-15 à 15:05

Bonjour,

Pour cet exercice, je dois montrer que \forall n\in \mathbb{N}^*, 10^{10^n}\equiv 4\pmod 7.
J'ai pensé à une récurrence, pour n=1 :
10\equiv 3 \pmod 7 donc 10^{10}\equiv 3^{10}\pmod 7.
Or 3^6 \equiv 1 \pmod 7 donc 3^{10} = 3^6 \times 3^4 \equiv 3^4 \pmod 7 \equiv 4\pmod 7.
Pour l'hérédité par contre, je sèche un peu.

De l'aide ?

Posté par
ThierryPomare : Congruence de 10^(10^n) mod 7 06-09-15 à 15:28

Bonjour,

4^{10}\equiv\cdots\quad[7]

Bonne journée !

Posté par
Flewerre : Congruence de 10^(10^n) mod 7 06-09-15 à 15:36

Effectivement, c'était facile..
Merci, bonne journée à toi aussi !

Posté par
aitmokranere : Congruence de 10^(10^n) mod 7 24-04-18 à 23:09

Bonsoir, je me permets de déterrer ce sujet car je ne comprends pas la démonstration. Quelqu'un peut-il m'expliquer svp ?

Bonne soirée.

Posté par
jsvdbre : Congruence de 10^(10^n) mod 7 25-04-18 à 02:03

Bonsoir aitmokrane.

Pour n = 1 c'est clair : 10^{10}=3^{10}=9^5=2^5=8.4=4 le tout modulo 7

Simplement l'hérédité consiste à montrer, si l'on suppose 10^{10^n} = 4~[7], que 10^{10^{n+1}} = 4~[7].

Donc, par l'hypothèse de récurrence, on a : 10^{10^{n+1}} =(10^{10^n})^{10} = 4^{10}~[7] .

Or que vaut 4^{10} modulo 7 ? ... Ce serait bien de trouver 4

Posté par
aitmokranere : Congruence de 10^(10^n) mod 7 25-04-18 à 10:46

Bonjour jsvdb,

Et on trouve bien 4.

C'est bpc plus clair maintenant.

Merci beaucoup.


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