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CONGRUENCE MODULO UN SOUS-GROUPE (congruence à droite modulo H)
Bonjour à tous !
Voilà je suis dans le chapitre Groupes Quotients (avec G un groupe et H un sous groupe) et dans la notion Congruence à droite modulo H sur G.
J'ai beaucoup de mal avec la définition
x congru y modulo H si seulement si xy^(1) appartient à H (bon je vois la logique entre les deux , pas de soucis)
C'est le concept du truc qui laisse interrogatif, comment interpréter ce modulo H ? Je veux dire , c'est un sous-groupe , ce n'est pas un nombre , comment imaginer sa congruence ? Si je prends la forme a=Hq + r comme appris terminale spé , j'ai du mal à m'imaginer H car c'est un sous groupe et non un nombre diviseur avec un reste . De plus si H appartient à R*+ par exemple , H a des nombres non-entiers ce qui contrarie la définition a=Hq + r que je viens de mettre (car H nombre entier obligatoirement). Donc à mon avis , il faut le voir d'une autre manière , mais j'ai beaucoup de mal avec ça. Auriez vous un exemple très simple en remplaçant H , x et y par exemple ? Ou quelqu'un peux-t-il me donner un conseil pour voir les choses de la bonne manière ?
En vous remerciant d'avance de vos réponses.
Je vous souhaite un excellent dimanche !
salut
tu mélanges tout et à mon avis tu ne dois guère maitriser la notion de congruence vue au lycée ...
en particulier tu as certainement vu la congruence modulo pour les angles ...
RAP: deux réels sont congrus modulo si leur différence est un multiple entier de
J'ai beaucoup de mal avec la définition : (il manque d'ailleurs un moins ...)
x congru y modulo H si seulement si xy^(-1) appartient à H
deux éléments x et y sont congrus modulo H si l'on passe de l'un à l'autre en multipliant par un élément h de H
PS : dans un groupe il n'y a qu'une seule opération
...
Bonsoir,
Pour compléter et faire le lien avec ce que tu as vu sur les entiers (congruence modulo ) :
Tu prends pour groupe le groupe
. Tu prends comme sous groupe
(l'ensemble des multiples de
, c'est bien un sous-groupe pour l'addition). Alors l'entier
est congru à l'entier
modulo
si et seulement si
, c.-à-d. si et seulement si
est multiple de
(j'ai écrit
au lieu de
parce qu'ici l'opération de groupe est notée additivement). C'est bien la congruence telle que tu l'as vue au lycée. Dans le cas général, il faut faire gaffe à sa droite et à sa gauche, parce que l'opération de groupe n'est pas forcément commutative.
bonsoir
juste pour compléter avec un autre exemple et une autre loi... (dans les théories on prend souvent une loi multiplicative mais ensuite faut adapter 
)
si tu prends le groupe des similitudes du plan muni de la loi o de composition
et la relation d'équivalence "avoir le même rapport"
elle correspond à un congruence modulo le sous-groupe H des isométries :
deux similitudes s et s' ont même rapport si et seulement si s o s'-1 
H
sauf erreur
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