Bonjour,

Le petit théorème de Fermat indique que:



donc que avec entier impair.

Oui d'abord merci pour votre réponse,  je suis d'accord mais je pense que cela prouve juste que l'inverse de 2 est 2^27 dans Z/29 Z. Cela ne prouve pas que 2^27 = 15?  

Bonjour,

??? l'inverse de 2 modulo 29 est le nombre x tel que 2x congru à 1 modulo 29 soit x=15

Oui totalement d'accord mais le but de l'exercice n'est pas de trouver l'inverse de 2 c'est de prouver que 2^27 est congru à 15 modulo 29

Bon ok mais ton exercice veut qu'on passe par quelle façon de faire ?

Prouvez que 2^27 est congru à 15 modulo 29...

Bonjour,

ce qui a été prouvé dans la discussion
à condition de savoir lire ces égalités correctement.

on sait que 2 * 2^27 congru à 1

et que de façon totalement évidente 2 * 15 congru à 1

exercice terminé.

Avec une calculette on peux y arriver mais sans cela va etre chaud.

?? vu que c'est terminé, j'insiste !

si on refuse ou ne connait pas le petit théorème de Fermat, calculer 2^27 mod 29 à la calculette n'est pas "chaud" mais nécessite juste d'être un peu malin

2^27 = 2 * 2^26 = 2 * (2^13)^2 = 2 * ( 2 * 2^12) ^2 = 2 * ( 2 * (2^6)^2) ^2

on peut continuer jusqu'au bout (à 2 tout court) ou s'arrêter là parce que 2^6 = 64 congru à 6

on remonte alors 2^12 congru à 6^2 congru à 7
2^13 congru à 2 * 7 = 14
etc
jusqu'à 2^27, seulement deux multiplications modulo 29 plus loin

on ne traite jamais aucun nombre > 29^2 = 841

et uniquement de l'ordre de 2 fois le logarithme en base 2 de 29 soit une dizaine de multiplications ou carrés modulos 29 enchainées à la calculette
(et encore, en partant de 2 au lieu de 2^6 "connu")

** le logarithme en base 2 de 27 (c'est exposant 27 qu'on veut calculer)

salut

le calcul mental est un impératif quand on fait de l'arithmétique ... et les puissances de 2 sont un classique ...

2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096 8192 16385 sont des classiques et stimulent la mémoire

vu que 2 * 15 = 30 = 1 [29] on peut donc s'arrêter à 16 et on a alors :

ou sans aucun calcul du tout en lisant correctement ce qui a déja été fait

petit théorème de Fermat :  


or     (évident)

donc   2²⁷   est "la même chose " que   15 modulo 29
et c'est TERMINE

si on veut pinailler
on a, des deux égalité précédntes soustraites membre à membre :


et comme 2 est premier avec 29

ne pas confondre :

calculer   2^27 modulo 29   (on ne sait rien du tout du résultat à moins de le conjecturer soi-même)

et

prouver que 2^27 ≡ 15 modulo 29   (le résultat attendu est donné dans l'énoncé)

ce n'est pas du tout le même exo !!

c'est du même genre que :
factoriser x² - 12 x + 35
et
montrer que x² - 12 x + 35 = (x-5)(x-7), bien plus facile car il suffit juste de développer (x-5)(x-7) !!

le petit théorème de Fermat n'est pas un exigible de terminale ... bien que (très) souvent vu en exo évidemment ...

d'autre part en apprentissage tel qu'en terminale l'objectif n'est fort probablement pas de sortir l'artillerie lourde mais d'apprendre ... en manipulant ...

Citation :

et comme 2 est premier avec 29  je préfère multiplier par 15 à nouveau ... (apprendre et manipuler les règles élémentaires de collège sur les égalités ...)

Merci beaucoup pour toutes vos réponses très détaillées!!

de rien

le petit théorème de Fermat n'a pas soulevé un tollé lorsqu'il a été cité à 16:42 !!

je disais uniquement que tout avait deja été dit dans la discussion et qu'il suffisait juste d'en comprendre les implications.

il est de toute façon certain qu'il n'y a pas que une seule façon de faire un exo !!